Nájdite chybu v postupe riešenia danej exponenciálnej rovnice: $$ 3^{2x}-12\cdot 3^x+27=0 $$
(1) Najprv bola ľavá strana upravená prepísaním $3^{2x}$ na $3^2 3^x$:
$$ 3^2 3^x-12\cdot 3^x+27=0 $$ (2) Potom bola navrhnutá substitúcia: $$ 3^x=t $$ Rovnica bola prepísaná pomocou substitučnej premennej $t$: $$ 3^2 t-12t+27=0 $$ (3) Potom bola získaná lineárna rovnica vyriešená: $$ \begin{aligned} 9t-12t & = -27 \cr -3t & = -27 \cr t & = 9 \cr \end{aligned} $$ (4) Nakoniec sa z použitej substitúcie našlo riešenie pre $x$: $$ \begin{aligned} 3^x & = t \cr 3^x & = 9 \cr 3^x & = 3^2 \cr x & = 2 \end{aligned} $$ (5) Ďalej bola vykonaná skúška správnosti riešenia: $$ \begin{aligned} L & = 3^4-12\cdot 3^2+27=0 \cr P & = 0 \cr L & = P \end{aligned} $$ Je v niektorom kroku riešenia chyba? Ak áno, uveďte kde.
Celý postup je správny.
Chyba je v kroku (1). Rovnosť $3^{2x}=3^2 3^x$ všeobecne neplatí.
Chyba je v kroku (2). Malo byť $3t^2-12t+27=0$.
Chyba je v kroku (3). Malo byť $t=3$.
Chyba je v kroku (4). Číslo $9$ by malo byť zapísané ako $9=3^3$.
Ukážeme správny postup riešenia danej rovnice: $$ 3^{2x}-12 \cdot 3^x+27=0 $$ Platí, že: $$ 3^{2x}=(3^x )^2 $$ a rovnicu môžeme upraviť na: $$ (3^x )^2-12 \cdot 3^x+27=0 $$ Použitím substitúcie $3^x=t$ dostaneme kvadratickú rovnicu: $$ t^2-12t+27=0, $$ ktorá má dve riešenia: $$ \begin{aligned} t_{1,2}=&\frac{12\pm \sqrt{144-4\cdot 27}}{2} \cr t_1=&\frac{12+6}{2}=9 \cr t_2=&\frac{12-6}{2}=3 \end{aligned} $$ Ak sa vrátime k substitúcii $3^x=t$, dostaneme: $$ \begin{aligned} 3^x=9 ~\lor~ & 3^x=3 \cr x=2 ~\lor~ & x=1 \end{aligned} $$ Rovnica má dve riešenia: $x=2$ a $x=1$. Skúška nie je potrebná.