Najděte chybu v postupu při řešení exponenciální rovnice: $$ 3^{2x}-12\cdot 3^x+27=0 $$
(1) Nejdříve byla levá strana rovnice upravena přepsáním $3^{2x}$ na $3^2 3^x$: $$ 3^2 3^x-12\cdot 3^x+27=0 $$
(2) Potom byla navržena substituce: $$ 3^x=t $$ Rovnice byla přepsána pomocí substituční proměnné $t$: $$ 3^2 t-12t+27=0 $$
(3) Poté byla vyřešena získaná lineární rovnice: $$ \begin{aligned} 9t-12t & = -27 \cr -3t & = -27 \cr t & = 9 \cr \end{aligned} $$
(4) Nakonec byla vypočtena neznámá $x$ dosazením do substitučního vztahu: $$ \begin{aligned} 3^x & = t \cr 3^x & = 9 \cr 3^x & = 3^2 \cr x & = 2 \end{aligned} $$
(5) Provedení zkoušky: $$ \begin{aligned} L & = 3^4-12\cdot 3^2+27=0 \cr P & = 0 \cr L & = P \end{aligned} $$ Je někde chyba v některém z kroků řešení? Pokud ano, tak kde.
Celý postup je v pořádku.
Chyba je v kroku (1). Vztah $3^{2x}=3^2 3^x$ obecně neplatí.
Chyba je v kroku (2). Mělo být $3t^2-12t+27=0$.
Chyba je v kroku (3). Mělo vyjít $t=3$.
Chyba je v kroku (4). Číslo $9$ se mělo psát ve tvaru $9=3^3$.
Postup řešení: $$ 3^{2x}-12 \cdot 3^x+27=0 $$ Je nutné si uvědomit, že platí: $$ 3^{2x}=(3^x )^2 $$ a rovnici můžeme upravit na tvar: $$ (3^x )^2-12 \cdot 3^x+27=0 $$
Rovnici dále řešíme s použitím substituce $3^x=t$: $$ t^2-12t+27=0 $$ Řešíme vzniklou kvadratickou rovnici, která má dvě řešení: $$ \begin{aligned} t_{1,2}=&\frac{12\pm \sqrt{144-4\cdot 27}}{2} \cr t_1=&\frac{12+6}{2}=9 \cr t_2=&\frac{12-6}{2}=3 \end{aligned} $$ Vrátíme-li se k substituci $3^x=t$, dostaneme: $$ \begin{aligned} 3^x=9 ~\lor~ & 3^x=3 \cr x=2 ~\lor~ & x=1 \end{aligned} $$ Rovnice má dvě řešení: $x=2$ a $x=1$. Zkouška v tomto případě není nutná.