Encuentra el error en el procedimiento para resolver la ecuación exponencial dada: $$ 3^{2x}-12\cdot 3^x+27=0 $$
(1) En primer lugar, se modificó el lado izquierdo reescribiendo $3^{2x}$ como $3^2 3^x$: $$ 3^2 3^x-12\cdot 3^x+27=0 $$
(2) A continuación, se propuso la sustitución: $$ 3^x=t $$ La ecuación se reescribió utilizando la variable de sustitución $t$: $$ 3^2 t-12t+27=0 $$
(3) Luego se resolvió la ecuación lineal obtenida: $$ \begin{aligned} 9t-12t & = -27 \cr -3t & = -27 \cr t & = 9 \cr \end{aligned} $$
(4) Finalmente, a partir de la sustitución utilizada, se encontró la solución para $x$: $$ \begin{aligned} 3^x & = t \cr 3^x & = 9 \cr 3^x & = 3^2 \cr x & = 2 \end{aligned} $$
(5) Además, se verificó si la solución era correcta: $$ \begin{aligned} I & = 3^4-12\cdot 3^2+27=0 \cr D & = 0 \cr I & = D \end{aligned} $$ ¿Hay algún error en algún paso del procedimiento de resolución? En caso afirmativo, especifica dónde.
Todo el procedimiento es correcto.
El error está en el paso (1). La ecuación $3^{2x}=3^2 3^x$ generalmente no se cumple.
El error está en el paso (2). Debería haber sido $3t^2-12t+27=0$.
El error está en el paso (3). Debería haber sido $t=3$.
El error está en el paso (4). El número $9$ debería escribirse como $9=3^3$.
Mostramos el procedimiento correcto para resolver la ecuación dada: $$ 3^{2x}-12 \cdot 3^x+27=0 $$ Se cumple que: $$ 3^{2x}=(3^x )^2 $$ y la ecuación puede modificarse a: $$ (3^x )^2-12 \cdot 3^x+27=0 $$
Aplicando la sustitución $3^x=t$, obtenemos la ecuación cuadrática: $$ t^2-12t+27=0 $$ que tiene dos soluciones: $$ \begin{aligned} t_{1,2}=&\frac{12\pm \sqrt{144-4\cdot 27}}{2} \cr t_1=&\frac{12+6}{2}=9 \cr t_2=&\frac{12-6}{2}=3 \end{aligned} $$ Volviendo a la sustitución $3^x=t$, obtenemos: $$ \begin{aligned} 3^x=9 ~\lor~ & 3^x=3 \cr x=2 ~\lor~ & x=1 \end{aligned} $$ La ecuación tiene dos soluciones: $x=2$ y $x=1$. La comprobación no es necesaria.