Znajdź błąd w procedurze rozwiązywania podanego równania wykładniczego: $$ 3^{2x}-12\cdot 3^x+27=0 $$
(1) Po pierwsze, lewa strona została zmodyfikowana poprzez przepisanie $3^{2x}$ jako $3^2 3^x$: $$ 3^2 3^x-12\cdot 3^x+27=0 $$
(2) Następnie zasugerowano podmianę: $$ 3^x=t $$ Równanie zostało przepisane przy użyciu zmiennej zastępczej $t$: $$ 3^2 t-12t+27=0 $$
(3) Następnie otrzymane równanie liniowe zostało rozwiązane: $$ \begin{aligned} 9t-12t & = -27 \cr -3t & = -27 \cr t & = 9 \cr \end{aligned} $$
(4) Ostatecznie, na podstawie zastosowanego podstawienia, rozwiązanie dla $x$ zostało znalezione: $$ \begin{aligned} 3^x & = t \cr 3^x & = 9 \cr 3^x & = 3^2 \cr x & = 2 \end{aligned} $$
(5) Ponadto przeprowadzono weryfikację poprawności rozwiązania: $$ \begin{aligned} L & = 3^4-12\cdot 3^2+27=0 \cr P & = 0 \cr L & = P \end{aligned} $$ Czy w którymkolwiek kroku procedury rozwiązywania jest błąd? Jeśli tak, określ gdzie.
Cała procedura jest prawidłowa.
Błąd tkwi w kroku (1). Równość $3^{2x}=3^2 3^x$ zasadniczo nie ma zastosowania.
Błąd tkwi w kroku (2). Powinien on brzmieć $3t^2-12t+27=0$.
Błąd znajduje się w kroku (3). Powinno być $t=3$.
Błąd występuje w kroku (4). Liczba $9$ powinna być zapisana jako $9=3^3$.
Przedstawiamy poprawną procedurę rozwiązania podanego równania: $$ 3^{2x}-12 \cdot 3^x+27=0 $$ Stanowi ono, że: $$ 3^{2x}=(3^x )^2 $$ a równanie można zmodyfikować do postaci $$ (3^x )^2-12 \cdot 3^x+27=0 $$
Stosując podstawienie $3^x=t$, otrzymujemy równanie kwadratowe: $$ t^2-12t+27=0 $$ która ma dwa rozwiązania: $$ \begin{aligned} t_{1,2}=&\frac{12\pm \sqrt{144-4\cdot 27}}{2} \cr t_1=&\frac{12+6}{2}=9 \cr t_2=&\frac{12-6}{2}=3 \end{aligned} $$ Wracając do podstawienia $3^x=t$, otrzymujemy: $$ \begin{aligned} 3^x=9 ~\lor~ & 3^x=3 \cr x=2 ~\lor~ & x=1 \end{aligned} $$ Równanie ma dwa rozwiązania: $x=2$ and $x=1$. Kontrola nie jest konieczna.