Učiteľ dal žiakom za úlohu vyriešiť logaritmickú rovnicu. Jeden zo študentov bol požiadaný, aby riešenie prezentoval na tabuli. Trieda pozorovala prácu študenta a mala posúdiť správnosť jeho postupu riešenia. Zadanie rovnice je: $$ \log_x 8=-3 $$ Študent riešil rovnicu v nasledujúcich krokoch: (1) Najprv určil podmienku pre základ logaritmu: $$ x\neq 1 \wedge x>0 $$ a napísal definičný obor rovnice: $$ (0,+\infty)\setminus {1} $$ (2) Ďalej použil pravidlo: $$ \log_a x=v\Leftrightarrow x=a^v $$ získal: $$ 8=x^{-3} $$ (3) Vyjadril $8$ ako $2^3$ a rovnicu prepísal: $$ 2^3=x^{-3} $$ (4) Potom rovnicu vyriešil takto: $$ \begin{aligned} 2^3=x^{-3} \cr 2^3=-x^3 \cr x=-2 \end{aligned} $$ Keďže číslo $-2$ nepatrí do definičného oboru rovnice, študent dospel k záveru, že daná rovnica nemá riešenie. Urobil študent chybu? Ak áno, uveďte, v ktorom kroku.
Áno. Chyba je v kroku (1) v podmienke pre základ logaritmu. Defičný obor rovnice by mal byť $R\setminus {1}$.
Áno. Chyba je v kroku (2). Malo by to byť $(-3)^x=8$.
Áno. Chyba je v kroku (3). Číslo $8$ nie je možné zapísať v tvare $2^3$, pretože na pravej strane rovnice nie je mocnina $2$.
Áno. Chyba je v kroku (4). Študent nesprávne vyriešil rovnicu $2^3=x^{-3}$.
Nie. Celý postup je správny.
Kroky (1)-(3) sú správne. Chyba je v kroku (4). Rovnicu môžeme správne vyriešiť takto: $$ \begin{aligned} 2^3=x^{-3} \cr 2^3=[(x)^{-1} ]^3 \cr 2=(x)^{-1} \cr 2=\frac{1}{x} \cr x=\frac12 \end{aligned} $$ Koreň $x=\frac12$ patrí do definičného oboru rovnice, pretože spĺňa podmienku pre základ logaritmu. Rovnica má len jedno riešenie: $$ x=\frac12 $$ V tomto prípade skúška nie je potrebná. Môžeme ju však vykonať. $$ \begin{aligned} L & = \log_{\frac12} 8= \log_{\frac12} 2^3 =3 \log_{\frac12} 2=3 \log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-1}=-3 \log_{\frac12} \frac12 =-3 \cr P & =-3 \cr L & =P \end{aligned} $$