Nauczyciel zlecił uczniom rozwiązanie równania logarytmicznego. Jeden z uczniów został poproszony o przedstawienie rozwiązania na tablicy. Klasa obserwowała pracę ucznia i miała ocenić poprawność jego procedury rozwiązywania. Równanie ma postać: $$ \log_x 8=-3 $$
Uczeń rozwiązał równanie w następujących krokach:
(1) Najpierw określił warunek dla podstawy logarytmu: $$ x\neq 1 \wedge x>0 $$ i zapisał dziedzinę równania: $$ (0,+\infty)\setminus {1} $$
(2) Następnie użył tożsamości logarytmicznej: $$ \log_a x=v\Leftrightarrow x=a^v $$ aby uprościć równanie i otrzymać: $$ 8=x^{-3} $$
(3) Wyraził $8$ jako $2^3$ i przepisał równanie jako: $$ 2^3=x^{-3} $$
(4) Następnie rozwiązał równanie w następujący sposób: $$ \begin{aligned} 2^3=x^{-3} \cr 2^3=-x^3 \cr x=-2 \end{aligned} $$ Ponieważ liczba $-2$ nie należy do dziedziny równania, uczeń doszedł do wniosku, że dane równanie nie ma rozwiązania. Czy uczeń popełnił błąd? Jeśli tak, wskaż, w którym kroku.
Tak. Błąd jest w kroku (1) w warunku dotyczącym podstawy logarytmu. Dziedziną równania powinno być $R\setminus {1}$.
Tak. Błąd występuje w kroku (2). Powinien on brzmieć $(-3)^x=8$.
Tak. Błąd występuje w kroku (3). Nie można zapisać liczby $8$ w postaci $2^3$ponieważ nie ma mocy $2$ po prawej stronie równania.
Tak. Błąd jest w kroku (4). Uczeń rozwiązał równanie $2^3=x^{-3}$ nieprawidłowo.
Nie. Cała procedura jest prawidłowa.
Kroki (1)-(3) są poprawne. Błąd tkwi w kroku (4). Równanie z kroku (4) można poprawnie rozwiązać w następujący sposób: $$ \begin{aligned} 2^3=x^{-3} \cr 2^3=[(x)^{-1} ]^3 \cr 2=(x)^{-1} \cr 2=\frac{1}{x} \cr x=\frac12 \end{aligned} $$ Źródło $x=\frac12$ należy do dziedziny równania, ponieważ spełnia warunek podstawy logarytmu. Równanie ma tylko jedno rozwiązanie: $$ x=\frac12 $$ W tym przypadku kontrola nie jest konieczna. Możemy ją jednak przeprowadzić. $$ \begin{aligned} L & = \log_{\frac12} 8= \log_{\frac12} 2^3 =3 \log_{\frac12} 2=3 \log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-1}=-3 \log_{\frac12} \frac12 =-3 \cr P & =-3 \cr L & = P \end{aligned} $$