Učitel zadal logaritmickou rovnici a požádal jednoho z žáků o výpočet na tabuli. Třída sledovala jeho práci a v závěru měla zhodnotit správnost jeho postupu. Rovnice je zadána takto: $$ \log_x 8=-3 $$
Student řešil rovnici následujícím postupem:
(1) Nejdříce si určil podmínku pro základ logaritmu: $$ x\neq 1 \wedge x>0 $$ A napsal definiční obor rovnice: $$ (0,+\infty)\setminus {1} $$
(2) Dále, rovnici upravil podle pravidla: $$ \log_a x=v\Leftrightarrow x=a^v $$ získal: $$ 8=x^{-3} $$
(3) $8$ vyjádřil jako $2^3$ a rovnici přepsal: $$ 2^3=x^{-3} $$
(4) Poté, vzniklou rovnici dořešil následujícím způsobem: $$ \begin{aligned} 2^3=x^{-3} \cr 2^3=-x^3 \cr x=-2 \end{aligned} $$
Protože číslo $-2$ nepatří do definičního oboru naší rovnice, prohlásil student, že zadaná rovnice nemá řešení.
Udělal žák chybu? Pokud ano, určete kde.
Ano. Chyba je v kroku (1) v podmínce pro základ logaritmu. Definiční obor rovnice má být $R\setminus {1}$.
Ano. Chyba je v kroku (2). Správně má být $(-3)^x=8$.
Ano. Chyba je v kroku (3). Není možné číslo $8$ psát ve tvaru $2^3$. Na pravé straně rovnice není žádná mocnina o základu $2$.
Ano. Chyba je v kroku (4). Student vyřešil rovnici $2^3=x^{-3}$ chybně.
Ne. Všechny kroky jsou v pořádku.
Kroky (1)-(3) jsou v pořádku. Chyba nastala v kroku (4). Vzniklou rovnici můžeme správně dořešit například takto: $$ \begin{aligned} 2^3=x^{-3} \cr 2^3=[(x)^{-1} ]^3 \cr 2=(x)^{-1} \cr 2=\frac{1}{x} \cr x=\frac12 \end{aligned} $$ Kořen $x=\frac12$ patří do definičního oboru naší rovnice, protože splňuje podmínky pro základ logaritmu. Rovnice má tedy jediné řešení: $$ x=\frac12 $$ V tomto případě není zkouška nutná. Provést ji ale můžeme: $$ \begin{aligned} L & = \log_{\frac12} 8= \log_{\frac12} 2^3 =3 \log_{\frac12} 2=3 \log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-1}=-3 \log_{\frac12} \frac12 =-3 \cr P & =-3 \cr L & =P \end{aligned} $$