El profesor encargó a sus alumnos que resolvieran una ecuación logarítmica. Se pidió a uno de los alumnos que presentara la solución en la pizarra. La clase observaba el trabajo del alumno y debía evaluar la corrección de su procedimiento de resolución. La ecuación es: $$ \log_x 8=-3 $$
El estudiante solucionó la ecuación de la siguiente forma:
(1) Primero, determinó la condición de la base del logaritmo: $$ x\neq 1 \wedge x>0 $$ y escribió el dominio de la ecuación: $$ (0,+\infty)\setminus {1} $$
(2) A continuación, utilizó la identidad logarítmica: $$ \log_a x=v\Leftrightarrow x=a^v $$ para simplificar la ecuación y obtuvo: $$ 8=x^{-3} $$
(3) Expresó $8$ como $2^3$ y reescribió la ecuación como: $$ 2^3=x^{-3} $$
(4) A continuación, resolvió la ecuación de la siguiente manera: $$ \begin{aligned} 2^3=x^{-3} \cr 2^3=-x^3 \cr x=-2 \end{aligned} $$ Como el número $-2$ no pertenece al dominio de la ecuación, el alumno concluye que la ecuación dada no tiene solución.
¿Cometió el alumno algún error? En el caso afirmativo, indica en qué paso.
Sí. El error está en el paso (1) en la condición para la base del logaritmo. El dominio de la ecuación debería ser $R\setminus {1}$.
Sí. El error está en el paso (2). Debería ser $(-3)^x=8$.
Sí. El error está en el paso (3). No es posible escribir el número $8$ en forma de $2^3$ porque no hay ninguna potencia de $2$ en el lado derecho de la ecuación.
Sí. El error está en el paso (4). El alumno resolvió incorrectamente la ecuación $2^3=x^{-3}$.
No. Todo el procedimiento es correcto.
Los pasos (1)-(3) son correctos. El error está en el paso (4). La ecuación del paso (4) puede resolverse correctamente de la siguiente manera: $$ \begin{aligned} 2^3=x^{-3} \cr 2^3=[(x)^{-1} ]^3 \cr 2=(x)^{-1} \cr 2=\frac{1}{x} \cr x=\frac12 \end{aligned} $$ La raíz $x=\frac12$ pertenece al dominio de la ecuación ya que cumple la condición de la base del logaritmo. La ecuación solo tiene una solución: $$ x=\frac12 $$ En este caso, la comprobación no es necesaria. Sin embargo, podemos realizarla. $$ \begin{aligned} I & = \log_{\frac12} 8= \log_{\frac12} 2^3 =3 \log_{\frac12} 2=3 \log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-1}=-3 \log_{\frac12} \frac12 =-3 \cr D & =-3 \cr I & =D \end{aligned} $$