Obsah ostrouhlého trojuholníka so stranami $|AC|=40$ a $|BC|=29$ je $420$. Vypočítajte dĺžku polomeru kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.
Riešenie:
(1) Nakreslíme trojuholník
(2) Vyjadríme obsah trojuholníka pomocou vzorca, v ktorom využijeme, že sú dané dve strany a uhol nimi zvieraný: $$ \frac12 |AC||BC| \sin \gamma =420 $$ (3) To nám umožňuje nájsť $\sin \gamma$: $$ \begin{align} \sin \gamma &=\frac{840}{40\cdot 29} \cr \sin \gamma &=\frac{21}{29} \end{align} $$
(4) Potom vypočítame $\cos \gamma$: $$ \begin{align} \cos \gamma & =\sqrt{1-\sin^2\gamma } \cr \cos \gamma &=\sqrt{1- \frac{441}{841}} \cr \cos \gamma &=\frac{20}{29} \end{align} $$
(5) Keďže teraz poznáme hodnotu $\cos\gamma$ ,môžeme určiť dĺžku strany $c$ pomocou kosínusovej vety: $$ \begin{align} c^2&=|AC|^2+|BC|^2-2|AC||BC| \cos \gamma \cr c^2&=1600+841-2\cdot 40\cdot 29\cdot \frac{20}{29} \cr c^2&=841 \cr c&=29 \end{align} $$ (6) Napokon použijeme vzorec pre polomer $r$ kružnice vpísanej do trojuholníka: $$ r=\frac{P}{s} $$ kde $P$ je obsah trojuholníka a $s=|AB|+|BC|+|AC|$, takže $$ \begin{align} r&=\frac{420}{98} \cr r&=\frac{30}7 \end{align} $$
Je riešenie správne alebo je v riešení chyba? Vyberte správnu odpoveď.
Chyba je v kroku (6). Za $s$ musíme dosadiť $\frac12 (|AB|+|BC|+|AC|)$.
Chyba je v kroku (4). Malo byť tiež $$ \cos \gamma =-\sqrt{1-\sin^2\gamma}$$ Takže tento príklad má dve riešenia.
Pri použití kosínusovej vety došlo v kroku (5) k chybe. Malo byť $$ c^2=|AC|^2+|BC|^2-|AC||BC| \cos \gamma $$
Riešenie je správne.
Všimnite si, že obsah trojuholníka sa dá vyjadriť pomocou dĺžok jeho strán a dĺžky $r$ polomeru kružnice vpísanej:
$$ P=\frac12 r(|AB|+|BC|+|AC|) $$
