El área de un triángulo acutángulo de lados $|AC|=40$ y $|BC|=29$ es $420$. Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita en este triángulo.
SOLUCIÓN:
(1) Trazamos un triángulo
(2) Expresamos el área de un triángulo mediante la fórmula en la que se conocen dos lados y el ángulo entre ellos: $$ \frac12 |AC||BC| \sin \gamma =420 $$ (3) Esto nos permite encontrar $\sin \gamma$: $$ \begin{align} \sin \gamma &=\frac{840}{40\cdot 29} \cr \sin \gamma &=\frac{21}{29} \end{align} $$
(4) Ahora calculamos $\cos \gamma$: $$ \begin{align} \cos \gamma & =\sqrt{1-\sin^2\gamma } \cr \cos \gamma &=\sqrt{1- \frac{441}{841}} \cr \cos \gamma &=\frac{20}{29} \end{align} $$
(5) Conociendo el valor de $\cos\gamma$ , podemos determinar la longitud del lado $c$ utilizando la regla del coseno: $$ \begin{align} c^2&=|AC|^2+|BC|^2-2|AC||BC| \cos \gamma \cr c^2&=1600+841-2\cdot 40\cdot 29\cdot \frac{20}{29} \cr c^2&=841 \cr c&=29 \end{align} $$ (6) Por último, aplicamos la fórmula del radio $r$ de una circunferencia inscrita en un triángulo: $$ r=\frac{P}{s} $$ donde $P$ es el área del triángulo y $s=|AB|+|BC|+|AC|$, por lo que $$ \begin{align} r&=\frac{420}{98} \cr r&=\frac{30}7 \end{align} $$
¿La solución es correcta o hay algún error en la solución? Selecciona la respuesta correcta.
El error está en el paso (6). Para $s$ debemos sustituir $\frac12 (|AB|+|BC|+|AC|)$.
El error está en el paso (4). También debería haber sido $$ \cos \gamma =-\sqrt{1-\sin^2\gamma} $$ por lo que este ejemplo tiene dos soluciones.
El error está en el paso (5) al aplicar la regla del coseno. Debería haber sido $$ c^2=|AC|^2+|BC|^2-|AC||BC| \cos \gamma $$
La solución es correcta.
Observa que el área de un tringulo se puede expresar en términos de las longitudes de sus lados y de la longitud $r$ del radio de la circunferencia inscrita:
$$ P=\frac12 r(|AB|+|BC|+|AC|) $$
