Pole trójkąta ostrokątnego o bokach $|AC|=40$ i $|BC|=29$ wynosi $420$. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
ROZWIĄZANIE:
(1) Szkicujemy trójkąt
(2) Wyrażamy pole trójkąta za pomocą wzoru, gdy dane są dwa boki i kąt wpisany trójkąta: $$ \frac12 |AC||BC| \sin \gamma =420 $$ (3) To pozwala nam znaleźć $\sin \gamma$: $$ \begin{align} \sin \gamma &=\frac{840}{40\cdot 29} \cr \sin \gamma &=\frac{21}{29} \end{align} $$
(4) Teraz obliczamy $\cos \gamma$: $$ \begin{align} \cos \gamma & =\sqrt{1-\sin^2\gamma } \cr \cos \gamma &=\sqrt{1- \frac{441}{841}} \cr \cos \gamma &=\frac{20}{29} \end{align} $$
(5) Teraz, gdy znamy wartość $\cos\gamma$ , możemy wyznaczyć długość boku $c$ korzystając z prawa cosinusów: $$ \begin{align} c^2&=|AC|^2+|BC|^2-2|AC||BC| \cos \gamma \cr c^2&=1600+841-2\cdot 40\cdot 29\cdot \frac{20}{29} \cr c^2&=841 \cr c&=29 \end{align} $$ (6) Na koniec stosujemy wzór na promień $r$ okręgu wpisanego w trójkąt: $$ r=\frac{P}{s} $$ gdzie $P$ jest polem trójkąta, a $s=|AB|+|BC|+|AC|$, więc $$ \begin{align} r&=\frac{420}{98} \cr r&=\frac{30}7 \end{align} $$
Czy rozwiązanie jest prawidłowe, czy też jest w nim błąd? Wybierz poprawną odpowiedź.
Błąd występuje w kroku (6). Dla $s$ musimy podstawić $\frac12 (|AB|+|BC|+|AC|)$.
Błąd jest w kroku (4). Powinno być również $$ \cos \gamma =-\sqrt{1-\sin^2\gamma} $$, więc ten przykład ma dwa rozwiązania.
Wystąpił błąd w kroku (5) podczas stosowania prawa cosinusów. Powinno być $$ c^2=|AC|^2+|BC|^2-|AC||BC| \cos \gamma $$.
Rozwiązanie jest prawidłowe.
Zauważmy, że pole trójkąta można wyrazić za pomocą długości jego boków i długości $r$ promienia okręgu wpisanego:
$$ P=\frac12 r(|AB|+|BC|+|AC|) $$
