Obsah ostroúhlého trojúhelníku se stranami $|AC|=40$ a $|BC|=29$ je $420$. Vypočítejte délku poloměru kružnice vepsané tomuto trojúhelníku. ŘEŠENÍ:
(1) Nakreslíme trojúhelník
(2) Vypočítáme obsah trojúhelníku užitím vzorce, ve kterém použijeme délky dvou stran trojúhelníku a velikost jimi sevřeného úhlu: $$ \frac12 |AC||BC| \sin \gamma =420 $$ (3) To nám umožní určit $\sin \gamma$: $$ \begin{align} \sin \gamma &=\frac{840}{40\cdot 29} \cr \sin \gamma &=\frac{21}{29} \end{align} $$
(4) Nyní spočítáme $\cos \gamma$: $$ \begin{align} \cos \gamma & =\sqrt{1-\sin^2\gamma } \cr \cos \gamma &=\sqrt{1- \frac{441}{841}} \cr \cos \gamma &=\frac{20}{29} \end{align} $$
(5) Když teď známe hodnotu $\cos\gamma$ , můžeme užitím kosinové věty vypočítat délku strany $c$: $$ \begin{align} c^2&=|AC|^2+|BC|^2-2|AC||BC| \cos \gamma \cr c^2&=1600+841-2\cdot 40\cdot 29\cdot \frac{20}{29} \cr c^2&=841 \cr c&=29 \end{align} $$ (6) Nakonec použijeme vzorec pro poloměr $r$ kružnice vepsané trojúhelníku: $$ r=\frac{P}{s} $$ kde $P$ je obsah trojúhelníku a $s=|AB|+|BC|+|AC|$, tedy $$ \begin{align} r&=\frac{420}{98} \cr r&=\frac{30}7 \end{align} $$
Je toto řešení správné, nebo je v něm nějaká chyba? Vyberte správnou odpověď.
Chyba je v kroku (6). Za $s$ musíme dosadit $\frac12 (|AB|+|BC|+|AC|)$.
Chyba je v kroku (4). Mělo tam být také $$ \cos \gamma =-\sqrt{1-\sin^2\gamma} $$ a existují tedy dvě řešení.
Chyba je v kroku (5) v použití kosinové věty. Správně mělo být $$ c^2=|AC|^2+|BC|^2-|AC||BC| \cos \gamma $$
Řešení je správné.
Všimněte si, že obsah trojúhelníku lze vypočítat pomocí délek stran a délky poloměru $r$ kružnice vepsané:
$$ P=\frac12 r(|AB|+|BC|+|AC|) $$
