Grafom kvadratickej funkcie $$ f(x)=2x^2+4x-6 $$ je parabola. Emil mal určiť súradnice jej vrcholu $V=[v_1,v_2]$.
Emil postupoval takto:
(1) Spomenul si, že pre určenie prvej súradnice vrcholu kvadratickej funkcie: $$ f(x)=ax^2+bx+c $$ platí vzorec: $$ v_1=-\frac{b}{2a} $$ Dosadil $a=2$, $b=4$ a získal: $$ v_1=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1 $$
(2) Emil dopočítal druhú súradnicu $v_2$ dosadením $v_1=-1$ za $x$ do rovnice funkcie: $$ v_2=f(v_1)=2v_1^2+4v_1-6=2(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8 $$
(3) Určil tak súradnice vrcholu: $$ V=[-1,-8] $$
Zuzana s Emilom nesúhlasila. Protestovala proti jeho postupu v kroku (1) a trvala na svojom:
(1) Zuzana určila priesečníky grafu danej kvadratickej funkcie s osou $x$ riešením rovnice $f(x)=0$, a teda $2x^2+4x-6=0$. Použitím vzorca pre riešenie kvadratickej rovnice získala: $$ x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2}=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{4}=\frac{-4\pm 8}{4} $$ a preto: $$ x_1=\frac{-4+8}{4}=1,~ x_2=\frac{-4-8}{4}=-3 $$
Parabola je súmerná podľa svojej osi prechádzajúcej svojim vrcholom, preto je súradnica $v_1$ presne v strede medzi bodmi $x_1=1$ a $x_2=-3$. Z obrázku je jasné, že: $$ v_1=-1 $$
S krokmi (2) a (3) Emilovho postupu Zuzana súhlasila a ďalej teda postupovala rovnako. Došla tak k rovnakému záveru: $$ V=[-1,-8] $$
Róbert dôsledne sledoval oba postupy a usúdil, že sa dajú zjednodušit. Použil metódu "úpravy na štvorec".
(1) V rovnici funkcie: $$ f(x)=2x^2+4x-6 $$
z kvadratického a lineárneho člena vybral koeficient kvadratického člena: $$ f(x)=2(x^2+2x)-6 $$
(2) Doplnil v zátvorkách zapísaný kvadratický dvojčlen na trojčlen $x^2+2x+1$ tak, aby sa rovnal druhej mocnine dvojčlena $x+1$: $$ x^2+2x+1= (x+1)^2 $$
Napísal rovnicu funkcie:
$$ f(x)=2(x^2+2x+1-1)-6 $$
(pripočítaním a odpočítaním $1$ sa nezmení hodnota výrazu).
(3) Nakoniec rovnicu zjednodušil: $$ \begin{aligned} f(x)&=2(x+1)^2-2\cdot 1-6 \cr f(x)&=2(x+1)^2-8 \end{aligned} $$
(4) Z uvedeného tvaru rovnice určil Róbert súradnice vrcholu $V$: $$ V=[-1,-8] $$
Vyberte pravdivé tvrdenie:
Postupy všetkých troch študentov sú správne.
Len Zuzana má správny postup.
Len Róbert má správny postup.
Len Emil má správny postup.
Zadané informácie nestačia na určenie súradníc vrchola paraboly.
Róbert a Emil použili metódu, ktorá tento problém rieši všeobecne. Zuzanin postup je správny, ale nedá sa použiť v prípade, keď prislúchajúca kvadratická rovnica $f(x)=0$ nemá riešenie.
