Vrchol paraboly

Grafem kvadratické funkce $$ f(x)=2x^2+4x-6 $$ je parabola. Emil měl určit souřadnice jejího vrcholu $V=[v_1,v_2]$.

Emil postupoval takto:

(1) Vzpomněl si, že pro určení první souřadnice vrcholu kvadratické funkce: $$ f(x)=ax^2+bx+c $$ platí vzorec: $$ v_1=-\frac{b}{2a} $$ Dosadil $a=2$, $b=4$ a získal: $$ v_1=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1 $$

(2) Emil dopočítal druhou souřadnici $v_2$ dosazením $v_1=-1$ za $x$ do rovnice funkce: $$ v_2=f(v_1)=2v_1^2+4v_1-6=2(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8 $$

(3) Určil tak souřadnice vrcholu: $$ V=[-1,-8] $$

Zuzana s Emilem nesouhlasila. Ohradila se proti jeho postupu v kroku (1) a trvala na svém:

(1) Zuzana určila průsečíky grafu dané kvadratické funkce s osou $x$ řešením rovnice $f(x)=0$, tedy $2x^2+4x-6=0$. Použitím vzorce pro řešení kvadratické rovnice získala: $$ x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2}=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{4}=\frac{-4\pm 8}{4} $$ a proto: $$ x_1=\frac{-4+8}{4}=1,~ x_2=\frac{-4-8}{4}=-3 $$

Parabola je souměrná podle své svislé osy pocházející jejím vrcholem, proto je souřadnice $v_1$ přesně uprostřed mezi body $x_1=1$ a $x_2=-3$. Z obrázku je zřejmé, že: $$ v_1=-1 $$

S kroky (2) a (3) Emilova postupu Zuzana souhlasila a dále tedy postupovala stejně. Došla tak ke stejnému závěru: $$ V=[-1,-8] $$

Robert pečlivě sledoval jejich postupy a usoudil, že je lze zjednodušit. Použil metodu "doplnění na čtverec".

(1) V rovnici funkce: $$ f(x)=2x^2+4x-6 $$

z kvadratického a lineárního členu vytkl koeficient kvadratického členu: $$ f(x)=2(x^2+2x)-6 $$

(2) Doplnil v závorkách zapsaný kvadratický dvojčlen na trojčlen $x^2+2x+1$ tak, aby se rovnal druhé mocnině dvojčlenu $x+1$: $$ x^2+2x+1= (x+1)^2 $$

Napsal rovnici funkce:

$$ f(x)=2(x^2+2x+1-1)-6 $$

(přičtení a odečtení $1$ nezmění hodnotu výrazu).

(3) Nakonec rovnici zjednodušil: $$ \begin{aligned} f(x)&=2(x+1)^2-2\cdot 1-6 \cr f(x)&=2(x+1)^2-8 \end{aligned} $$

(4) Z uvedeného tvaru rovnice určil Robert souřadnice vrcholu $V$: $$ V=[-1,-8] $$

Vyberte pravdivé tvrzení: