$ \log x \cdot \log_5(3x - 1) \geq 0 $

Potom, ako sa žiaci naučili riešiť logaritmické rovnice a nerovnice zadal im učiteľ náročnejšiu úlohu na riešenie. Žiaci dostali za úlohu vyriešiť nasledujúcu logaritmickú nerovnicu: $$ \log x \cdot \log_5(3x - 1) \geq 0 $$ Celé riešenie krok za krokom bolo zapísané na tabuľu na základe návrhov žiakov.

(1) Všetci žiaci si uvedomili, že logaritmy je možné počítať iba z kladných reálnych čísel. Preto k nerovnici pridali podmienky: $$ \begin{aligned} x > 0 &\land 3x - 1 > 0 \cr x > 0 &\land x > \frac13 \cr x &\in \left(\frac13 ; \infty \right) \end{aligned} $$

(2) Jeden zo žiakov navrhol postup ako pri súčinovom type nerovnice. Na tabuľu napísal: $$ \log x \cdot \log_5(3x - 1) \geq 0 $$ čo platí práve vtedy, keď sú obe zložky nezáporné, t. j. $\log x \geq 0$ a $\log_5(3x - 1) \geq 0$, alebo keď sú obe zložky nekladné, t. j. $\log x \leq 0$ a $\log_5(3x - 1) \leq 0$.

(3) Potom sa žiaci rozhodli riešenie rozdeliť.. Ďalším krokom bolo riešenie prvej sústavy nerovníc: $$ \begin{aligned} \log x \geq 0 &\land \log_5(3x - 1) \geq 0 \cr x \geq 10^0 &\land 3x - 1 \geq 5^0 \cr x \geq 1 &\land 3x - 1 \geq 1 \cr x \geq 1 &\land x \geq \frac23 \end{aligned} $$ Pri zohľadnení podmienky získali: $$x \in \langle 1; \infty )$$

(4) V ďalšom kroku riešili druhú sústavu logaritmických nerovníc: $$ \begin{aligned} \log x \leq 0 &\land \log_5(3x - 1) \leq 0 \cr x \leq 10^0 &\land 3x - 1 \leq 5^0 \cr x \leq 1 &\land 3x - 1 \leq 1 \cr x \leq 1 &\land x \leq \frac23 \end{aligned} $$ Pri zohľadnení podmienky získali: $$x \in \left( \frac13 ; \frac23\right\rangle$$

(5) Konečné riešenie vzniklo ako prienik intervalov nájdených v krokoch (3) a (4) a teda intervalov $\langle 1; \infty )$ a $(\frac13 ; \frac23\rangle$. Keďže v ich prieniku neleží žiadne reálne číslo, daná logaritmická nerovnica nemá riešenie.

Je ich riešenie správne? Vysvetli.