$ \log x \cdot \log_5(3x - 1) \geq 0 $

V závěru učiva o logaritmických rovnicích a nerovnicích zadal učitel žákům těžší logaritmickou nerovnici. Za úkol měli řešit logaritmickou nerovnici: $$ \log x \cdot \log_5(3x - 1) \geq 0 $$ Postup řešení s jednotlivými kroky zapisoval učitel na tabuli podle návrhu žáků:

(1) Téměř všichni žáci si uvědomili, že logaritmy lze řešit pouze pro kladná čísla. Proto k dané nerovnici přidali podmínku řešitelnosti: $$ \begin{aligned} x > 0 &\land 3x - 1 > 0 \cr x > 0 &\land x > \frac13 \cr x &\in \left(\frac13 ; \infty \right) \end{aligned} $$

(2) Jeden z žáků navrhl postup jako u součinového typu nerovnice. Zapsal na tabuli: $$ \log x \cdot \log_5(3x - 1) \geq 0 $$ je pravdivé tehdy a jen tehdy, když jsou oba činitelé nezáporné, tj., $\log x \geq 0$ a $\log_5(3x - 1) \geq 0$ nebo jsou oba činitelé nekladné, tj., $\log x \leq 0$ a $\log_5(3x - 1) \leq 0$.

(3) Žáci chtěli jednotlivá řešení rozdělit, takže další krok bylo řešení první soustavy logaritmických nerovnic $$ \begin{aligned} \log x \geq 0 &\land \log_5(3x - 1) \geq 0 \cr x \geq 10^0 &\land 3x - 1 \geq 5^0 \cr x \geq 1 &\land 3x - 1 \geq 1 \cr x \geq 1 &\land x \geq \frac23 \end{aligned} $$ Společně s podmínkou řešitelnosti dostali: $$x \in \langle 1; \infty )$$

(4) Vyřešili druhou soustavu logaritmických nerovnic: $$ \begin{aligned} \log x \leq 0 &\land \log_5(3x - 1) \leq 0 \cr x \leq 10^0 &\land 3x - 1 \leq 5^0 \cr x \leq 1 &\land 3x - 1 \leq 1 \cr x \leq 1 &\land x \leq \frac23 \end{aligned} $$ Společně s podmínkou řešitelnosti dostali: $$x \in \left( \frac13 ; \frac23\right\rangle$$

(5) Výsledné řešení je průnikem intervalů nalezených v krocích (3) a (4), tj. intervalů $\langle 1; \infty )$ a $(\frac13 ; \frac23\rangle$. V průniku těchto intervalů neleží žádné reálné číslo. Zadaná nerovnice tedy nemá žádné řešení.

Je jejich řešení správně? Vysvětlete.