Po nauczeniu równań i nierówności logarytmicznych, nauczyciel przydzielił uczniom trudniejszy problem do rozwiązania. Uczniowie mieli za zadanie rozwiązać następującą nierówność logarytmiczną: $$ \log x \cdot \log_5(3x - 1) \geq 0 $$ Całe rozwiązanie krok po kroku zostało zapisane na tablicy w oparciu o sugestie uczniów.
(1) Wszyscy uczniowie zdali sobie sprawę, że logarytmy można stosować tylko do dodatnich liczb rzeczywistych. Dlatego dodali do nierówności ograniczenie dotyczące dziedziny: $$ \begin{aligned} x > 0 &\land 3x - 1 > 0 \cr x > 0 &\land x > \frac13 \cr x &\in \left(\frac13 ; \infty \right) \end{aligned} $$
(2) Jeden z uczniów zasugerował rozwiązanie nierówności jako nierówności typu iloczynowego, co oznacza, że nierówność: $$ \log x \cdot \log_5(3x - 1) \geq 0 $$ jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba czynniki są nieujemne, tj.., $\log x \geq 0$ i $\log_5(3x - 1) \geq 0$, lub oba czynniki są niedodatnie, tj., $\log x \leq 0$ i $\log_5(3x - 1) \leq 0$.
(3) Następnie uczniowie zasugerowali podzielenie problemu na dwa oddzielne przypadki. Następnym krokiem było rozwiązanie pierwszego zestawu nierówności logarytmicznych: $$ \begin{aligned} \log x \geq 0 &\land \log_5(3x - 1) \geq 0 \cr x \geq 10^0 &\land 3x - 1 \geq 5^0 \cr x \geq 1 &\land 3x - 1 \geq 1 \cr x \geq 1 &\land x \geq \frac23 \end{aligned} $$ Biorąc pod uwagę ograniczenie domeny, otrzymali oni: $$x \in \langle 1; \infty )$$
(4) W kolejnym kroku rozwiązali drugi zestaw nierówności logarytmicznych: $$ \begin{aligned} \log x \leq 0 &\land \log_5(3x - 1) \leq 0 \cr x \leq 10^0 &\land 3x - 1 \leq 5^0 \cr x \leq 1 &\land 3x - 1 \leq 1 \cr x \leq 1 &\land x \leq \frac23 \end{aligned} $$ Biorąc pod uwagę ograniczenie domeny, otrzymali oni: $$x \in \left( \frac13 ; \frac23\right\rangle$$
(5) Ostatecznym rozwiązaniem jest przecięcie przedziałów znalezionych w krokach (3) i (4), a mianowicie przedziałów $\langle 1; \infty )$ i $(\frac13 ; \frac23\rangle$. Ponieważ żadna liczba rzeczywista nie leży na przecięciu tych przedziałów, podana nierówność logarytmiczna nie ma rozwiązania.
Czy ich rozwiązanie jest poprawne? Wyjaśnij.
Nie, w kroku (1) wystąpił błąd. Ograniczenie domeny powinno brzmieć: $$ \begin{gather} x(3x - 1) > 0 \cr x \in (-\infty , 0) \cup \left(\frac13 ; \infty \right) \end{gather} $$
Nie, w kroku (2) wystąpił błąd. Ta procedura jest nieprawidłowa.
Nie, w kroku (3) jest błąd. Powinno być $x \in \langle \frac23 ; \infty )$.
Nie, w kroku (4) jest błąd. Powinno być $x \in (\frac13 ; 1\rangle$.
Nie, w kroku (5) jest błąd. Ostateczne rozwiązanie powinno być połączeniem przedziałów uzyskanych w krokach (3) i (4), a nie ich przecięciem.
Tak, wszystkie kroki są prawidłowe.
Kroki (1)-(4) są poprawne. Błąd wystąpił w kroku (5), w którym uczniowie powinni byli połączyć przedziały z kroków (3) i (4). Skutkowałoby to: $$ x \in \left(\frac13 ; \frac23 \right\rangle \cup \left\langle 1; \infty \right)\cdot $$