Študenti dostali za úlohu nájsť lokálne extrémy funkcie: $$f(t)=3t^4-4t^3,$$ kde $t \in \mathbb{R}$.
Všetci správne vypočítali prvú deriváciu: $$ f'(t)=12t^3-12t^2, $$ a stanovili ju rovnú nule, aby našli stacionárne body, čím získali rovnicu: $$ 12t^3-12t^2=0. $$ Od tohto bodu postupoval každý študent trochu inak.
Adam prepísal rovnicu takto: $$ 12t^3=12t^2. $$ Vydelením oboch strán výrazom $t^2$ získal rovnicu $12t =12$, ktorá má jediné riešenie $t =1$. Potom usúdil, že jediný extrém funkcie $f$ sa nachádza v tomto bode.
Bob riešil rovnicu $12t^3-12t^2=0$ tak, že vybral pred zátvorku $t^2$ a dostal rovnicu: $$ 12t^2(t -1)=0.$$ Našiel teda dve riešenia: $t_1=1$ a $t_2=0$. Bob potom dospel k záveru, že funkcia $f$ má v oboch týchto bodoch lokálne extrémy.
Dávid postupoval podobne ako Bob a získal dve riešenia: $t_1=1$ a $t_2=0$. Aby si overil, či sú tieto body skutočne extrémy, vypočítal druhú deriváciu: $$ f''(t)=36t^2-24t $$ Do druhej derivácie dosadil stacionárne body $t_1=1$ a $t_2=0$: $$ f''(1)=36\cdot 1^2-24 \cdot 1=12>0 ,$$ čo znamená, že v bode $1$ je lokálne minimum a $$ f''(0)=36 \cdot 02-24 \cdot 0=0, $$ čo znamená, že v bode $0$ nie je lokálny extrém.
Ema tiež našla dva stacionárne body $t_1=1$ a $t_2=0$ pomocou rozkladu. Odôvodnila to takto:
V okolí $t_1=1$ sa zmení znamienko prvej derivácie, čo naznačuje, že $f$ má lokálny extrém v bode $1$. Presnejšie, na intervale $(0,1)$ je prvá derivácia $f$ záporná a na intervale $(1,+\infty)$ je kladná. Pretože $f$ je v bode $1$ spojitá, platí, že $f$ je na intervale $\langle 0,1 \rangle$ klesajúca a na intervale $(1,+\infty)$ rastúca. To znamená, že v bode $1$ existuje lokálne minimum.
Na druhej strane, v okolí $t_2=0$ sa znamienko prvej derivácie nemení, takže $f$ nemá v bode $0$ lokálny extrém.
Ktorý zo študentov sa pri riešení nedopustili chyby?
Iba Ema.
Adam, David a Ema.
David a Ema.
Iba Bob.
Adam stratil jeden z kritických bodov delením rovnice prvej derivácie funkcie $f$ výrazom $t^2$. Bob nesprávne predpokladal, že lokálny extrém sa automaticky vyskytuje v každom stacionárnom bode prvej derivácie funkcie $f$. David si mal uvedomiť, že ak je prvá aj druhá derivácia v určitom bode nulová, nie je možné určiť prítomnosť lokálneho extrému len na základe týchto derivácií.
