Ekstrema lokalne

Uczniowie mieli za zadanie znaleźć ekstrema lokalne funkcji: $$f(t)=3t^4−4t^3,$$ gdzie $t \in \mathbb{R}$.

Wszyscy poprawnie znaleźli pierwszą pochodną: $$ f'(t)=12t^3−12t^2, $$ i ustawić go na zero, aby znaleźć punkty krytyczne, uzyskując równanie: $$ 12t^3−12t^2=0. $$ Od tego momentu każdy uczeń postępował nieco inaczej.

Adam przepisał równanie jako: $$ 12t^3=12t^2. $$ Dzieląc obie strony przez $t^2$, uzyskał równanie $12t =12$,która ma jedno rozwiązanie $t =1$. Następnie doszedł do wniosku, że jedynym ekstremum funkcji $f $ jest w tym momencie.

Bob obliczył równanie $12t^3−12t^2=0$ jako: $$ 12t^2(t −1)=0 $$ i zidentyfikował dwa rozwiązania: $t_1=1$ i $t_2=0$. Następnie Bob stwierdził, że funkcja $f$ ma lokalne ekstrema w obu tych punktach.

David postąpił podobnie do Boba, dzieląc równanie na czynniki pierwsze i uzyskując dwa rozwiązania, $t_1=1$ i $t_2=0$. Aby sprawdzić, czy punkty te są rzeczywiście ekstrema, obliczył drugą pochodną: $$ f''(t)=36t^2−24t $$ Zastąpił punkty krytyczne $t_1=1$ i $t_2=0$ do drugiej pochodnej: $$ f''(1)=36\cdot 1^2−24 \cdot 1=12>0 $$ co oznacza, że istnieje lokalne minimum w punkcie $1$ oraz $$ f''(0)=36 \cdot 02−24 \cdot 0=0 $$

co oznacza, że nie ma lokalnego ekstremum w punkcie $0$.

Ema znalazła również dwa punkty krytyczne $t_1=1$ i $t_2=0$ przez dzielenie. Uzasadniła to w następujący sposób:

Wokół $t_1=1$ znak pierwszej pochodnej zmienia się, wskazując, że $f $ ma ekstremum lokalne w punkcie $1$. Dokładniej, w przedziale $(0,1)$, pierwsza pochodna $f$ jest ujemna, a w przedziale $(1,+\infty)$, jest pozytywna. Ponieważ $f$ jest ciągła w punkcie $1$, utrzymuje, że $f$ zmniejsza się na $\langle 0,1 \rangle$ i rośnie na $\langle 1,+\infty)$. Oznacza to, że w punkcie $1$ występuje lokalne minimum.

Z drugiej strony, ok. $t_2=0$ znak pierwszej pochodnej nie zmienia się, więc $f$ nie ma ekstremum lokalnego w punkciet $0$.

Którzy uczniowie nie popełnili żadnych błędów?