Alex dostal za domácu úlohu vyriešiť exponenciálnu nerovnicu: $$ (0{,}25)^{2x-1} \leq 16 $$ Úlohu odovzdal, ale učiteľ mu ju vrátil ako nesprávnu.
(1) Alex upravil nerovnicu tak, aby obsahovala mocniny s rovnakým základom: $$ \begin{align} \left(\frac14\right)^{2x-1} & \leq 4^2 \cr \left(4^{-1} \right)^{2x-1} & \leq 4^2 \end{align} $$
(2) Po úprave získal: $$ 4^{-2x+1} \leq 4^2 $$
(3) Alex si uvedomil, že základy na oboch stranách nerovnice sú rovnaké, preto ich odstránil a ďalej porovnával len exponenty. Dostal: $$ -2x+1 \leq 2 $$ Alex vedel, že exponenciálna funkcia $y=4^x$ je rastúca, nezmenil preto znamienko nerovnosti.
(4) Alex vyriešil novozískanú nerovnicu nasledovne: $$ \begin{align} -2x+1 & \leq 2 \cr -2x & \leq 1 \cr x & \leq -\frac12 \end{align} $$
Množina všetkých riešení je interval $(-\infty ;-\frac12 \rangle$.
(5) Skúška nie je potrebná, takže Alex ju preskočil.
V ktorom kroku urobil Alex chybu?
Chybu urobil v kroku (2). Zjednodušená nerovnica by mala byť: $$4^{2x-2}\leq 4^2 $$
Chybu urobil v kroku (3). Mal otočiť znamienko nerovnosti a získať: $$-2x+1 \geq 2$$
Chybu urobil v kroku (4). Správne riešenie by malo byť: $$ \langle - \frac12; \infty)$$
Chybu urobil v kroku (5). Skúška je podstatnou súčasťou riešenia.
Všetky kroky sú správne okrem kroku (4). Alex vyriešil nerovnicu $$ -2x \leq 1 $$ tak, že obe strany nerovnice vydelil záporným číslom $(-2)$ a zabudol otočiť znamienko nerovnosti. Mal by dostať: $$ x\geq-\frac12 $$ Množina všetkých riešení nerovnice je potom interval $ \langle -\frac12 ; \infty)$. Skúška nie je potrebná.