Como deberes, Alex tuvo que resolver la inecuación exponencial: $$ (0.25)^{2x-1} \leq 16 $$ Entregó los deberes, pero el profesor se los devolvió porque eran incorrectos.
(1) Alex modificó la inecuación para que contuviera potencias con la misma base: $$ \begin{align} \left(\frac14\right)^{2x-1} & \leq 4^2 \cr \left(4^{-1} \right)^{2x-1} & \leq 4^2 \end{align} $$
(2) Además, lo simplificó a: $$ 4^{-2x+1} \leq 4^2 $$
(3) Alex se dio cuenta de que las bases de ambos lados de la inecuación eran iguales, así que las eliminó y siguió comparando sólo los exponentes. Obtuvo: $$ -2x+1 \leq 2 $$ Como entendía que la función exponencial $y=4^x$ era creciente, no cambió el signo de la inecuación.
(4) Alex resolvió la inecuación recién obtenida de la siguiente manera: $$ \begin{align} -2x+1 & \leq 2 \cr -2x & \leq 1 \cr x & \leq -\frac12 \end{align} $$
El conjunto de todas las soluciones es el intervalo $(-\infty ;-\frac12 ]$.
(5) La comprobación no es necesaria, así que Alex se la saltó.
¿En qué paso cometió el error?
Cometió el error en el paso (2). La inecuación simplificada debería ser: $$4^{2x-2}\leq 4^2 $$
Cometió el error en el paso (3). Debería haber invertido el signo de inecuación y así obtener: $$-2x+1 \geq 2$$
Cometió el error en el paso (4). La solución correcta debería ser: $$ [ - \frac12; \infty)$$
Cometió el error en el paso (5). La comprobación es una parte esencial de la solución.
Todos los pasos son correctos excepto el paso (4). Alex resolvió la inecuación $$ -2x \leq 1 $$ dividiendo ambos lados de la inecuación por el número negativo $(-2)$ y olvidó invertir el signo de la inecuación. Debería obtener: $$ x\geq-\frac12 $$ El conjunto de todas las soluciones de la inecuación es entonces el intervalo $ [ -\frac12 ; \infty)$. La comprobación no es necesaria.