Alex měl za domácí úkol vyřešit exponenciální nerovnici: $$ (0{,}25)^{2x-1} \leq 16 $$ Své řešení odevzdal učiteli, ten mu úkol vrátil, že je špatně.
(1) Alex upravil nerovnici tak, aby obsahovala mocniny o stejném základu: $$ \begin{align} \left(\frac14\right)^{2x-1} & \leq 4^2 \cr \left(4^{-1} \right)^{2x-1} & \leq 4^2 \end{align} $$
(2) Po úpravě získal: $$ 4^{-2x+1} \leq 4^2 $$
(3) Všiml si, že se základy na obou stranách nerovnice rovnají. Po jejich odstranění dostal: $$ -2x+1 \leq 2 $$ Znaménko nerovnosti neotočil, protože si uvědomil, že exponenciální funkce $y=4^x$ je rostoucí.
(4) Vzniklou nerovnici Alex dořešil následovně: $$ \begin{align} -2x+1 & \leq 2 \cr -2x & \leq 1 \cr x & \leq -\frac12 \end{align} $$
Množinou všech řešení je interval $(-\infty ;-\frac12 \rangle$.
(5) Provedení zkoušky není nutné, Alex zkoušku vynechal.
Ve kterém kroku Alex udělal chybu?
Chybu udělal v kroku (2). Měl dostat nerovnici: $$4^{2x-2}\leq 4^2 $$
Chybu udělal v kroku (3). Měl změnit znaménko a dostat: $$-2x+1 \geq 2$$
Chybu udělal v kroku (4). Správné řešení mělo být: $$ \langle - \frac12; \infty)$$
Chybu udělal v kroku (5). Zkouška je nedílnou součástí řešení.
Všechny kroky jsou v pořádku s výjimkou kroku (4). Při dělení obou stran nerovnice $$ -2x \leq 1 $$ záporným číslem $(-2)$ Alex zapomněl změnit znaménko. Správně měl dostat $$ x\geq-\frac12 $$ a množinou všech řešení zadané nerovnice je tedy interval $ \langle -\frac12 ; \infty)$. Zkouška v tomto případě není nutná.