V pravouhlom trojuholníku sa súčet kosínusov ostrých uhlov rovná $\frac{2\sqrt3}{3}$. Vypočítajte súčin sínusov týchto uhlov.
Peter predložil triede nasledujúce riešenie:
(1) Nakreslime pravouhlý trojuholník:
(2) V pravouhlom trojuholníku je kosínus uhla definovaný ako pomer dĺžky priľahlej strany a dĺžky prepony. Z obrázka vidíme, že $$ \begin{gather} \cos{\alpha=\frac{b}{c}},~\cos{\beta=\frac{a}{c}} \end{gather} $$ (3) Vieme, že $$ \cos{\alpha+\cos{\beta=\frac{2\sqrt3}{3}}} $$ t.j. $$ \frac{a+b}{c}=\frac{2\sqrt3}{3} $$
(4) Teraz umocníme obe strany uvedenej rovnosti a použijeme Pytagorovu vetu: $$ \begin{gather} \frac{a^2+2ab+b^2}{c^2}=\frac{4\cdot 3}{9} \cr \frac{c^2+2ab}{c^2}=\frac{4}{3} \end{gather} $$
(5) Nakoniec zjednodušíme výslednú rovnosť a dostaneme: $$ \begin{gather} 1+\frac{2ab}{c^2}=\frac{4}{3}\cr \frac{ab}{c^2}=-\frac{1}{6} \cr \frac{a}{c}\cdot\frac{b}{c}=-\frac{1}{6} \end{gather} $$
(6) Teraz na ľavej strane máme súčin sínusov, ktorý sme mali vypočítať, t.j. $$ \sin{\alpha\cdot\sin{\beta=-\frac{1}{6}}} $$ Jeho spolužiaci komentovali jeho riešenie takto:
a) Luisa: Petrovo riešenie nie je celkom správne. V kroku (5) urobil chybu.
b) Filip: Petrovo riešenie je celkom správne.
c) Anna: Peter urobil chybu v kroku (4) pri umocnení rovnosti. Malo to byť: $$ \frac{a^2+2ab+b^2}{c}=\frac{4\cdot 3}{3} $$
d) Sára: Peter sa pomýlil v definícii funkcie kosínus. Malo to byť $$ \cos{\alpha=\frac{c}{b}}; \cos{\beta=\frac{c}{a}} $$
e) John: Príklad nie je vyriešený správne, pretože sme stratili jedno riešenie pri umocnení rovnosti v kroku (4).
f) Erika: Výsledok je nesprávny. Sínus každého uhla v pravouhlom trojuholníku je kladné číslo, takže ich súčin musí byť kladný.
Kto mal pravdu?
Luisa a Erika
Filip
Anna
Sára
John
Správne riešenie je: $$ \begin{gather} 1+\frac{2ab}{c^2}=\frac{4}{3} \cr \frac{ab}{c^2}=\frac{1}{6} \cr \sin{\alpha\cdot \sin{\beta=\frac{1}{6}}} \end{gather} $$
