V pravoúhlém trojúhelníku je součet kosinů ostrých úhlů roven $\frac{2\sqrt3}{3}$. Vypočítejte součin sinů těchto úhlů.
Petr představil třídě následující řešení:
(1) Načrtneme si pravoúhlý trojúhelník:
(2) V pravoúhlém trojúhelníku je kosinus úhlu definován jako poměr délky přilehlé strany k délce přepony. Z obrázku můžeme vidět, že $$ \begin{gather} \cos{\alpha=\frac{b}{c}},~\cos{\beta=\frac{a}{c}} \end{gather} $$ (3) Ze zadání víme: $$ \cos{\alpha+\cos{\beta=\frac{2\sqrt3}{3}}} $$ tj. $$ \frac{a+b}{c}=\frac{2\sqrt3}{3} $$
(4) Nyní umocníme obě strany výše uvedené rovnosti a použijeme Pythagorovu větu: $$ \begin{gather} \frac{a^2+2ab+b^2}{c^2}=\frac{4\cdot 3}{9} \cr \frac{c^2+2ab}{c^2}=\frac{4}{3} \end{gather} $$
(5) Nakonec výslednou rovnost zjednodušíme a dostaneme: $$ \begin{gather} 1+\frac{2ab}{c^2}=\frac{4}{3}\cr \frac{ab}{c^2}=-\frac{1}{6} \cr \frac{a}{c}\cdot\frac{b}{c}=-\frac{1}{6} \end{gather} $$
(6) Nyní si můžeme všimnout, že na levé straně máme součin sinů, který jsme měli vypočítat, tzn $$ \sin{\alpha\cdot\sin{\beta=-\frac{1}{6}}} $$ Spolužáci jeho řešení komentovali takto:
a) Luisa: Petrovo řešení není úplně správné. Udělal chybu v kroku (5).
b) Filip: Petrovo řešení je zcela správné.
c) Anna: Petr udělal chybu v kroku (4) při umocňování rovnosti. Mělo to být: $$ \frac{a^2+2ab+b^2}{c}=\frac{4\cdot 3}{3} $$
d) Sára: Petr se mýlil v definici funkce kosinus. Mělo to být $$ \cos{\alpha=\frac{c}{b}}; \cos{\beta=\frac{c}{a}} $$
e) Jan: Příklad není vyřešen správně, protože jsme při umocňování rovnosti v kroku (4) jedno řešení ztratili.
f) Erika: Výsledek je špatný. Sinus každého úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je kladné číslo, takže jejich součin musí být kladný.
Kdo měl pravdu?
Luisa a Erika
Filip
Anna
Sára
Jan
Správné řešení je: $$ \begin{gather} 1+\frac{2ab}{c^2}=\frac{4}{3} \cr \frac{ab}{c^2}=\frac{1}{6} \cr \sin{\alpha\cdot \sin{\beta=\frac{1}{6}}} \end{gather} $$
