Sinusy kątów

W trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa $\frac{2\sqrt3}{3}$. Oblicz iloczyn sinusów tych kątów.

Peter przedstawił klasie następujące rozwiązanie:

(1) Naszkicujmy trójkąt prostokątny:

(2) W trójkącie prostokątnym cosinus definiuje się jako stosunek długości sąsiedniego boku do długości przeciwprostokątnej. Z rysunku wynika, że $$ \begin{gather} \cos{\alpha=\frac{b}{c}},~\cos{\beta=\frac{a}{c}} \end{gather} $$ (3) Wiemy, że $$ \cos{\alpha+\cos{\beta=\frac{2\sqrt3}{3}}} $$ tzn. $$ \frac{a+b}{c}=\frac{2\sqrt3}{3} $$

(4) Teraz podnosimy do kwadratu obie strony powyższej równości i korzystamy z twierdzenia Pitagorasa: $$ \begin{gather} \frac{a^2+2ab+b^2}{c^2}=\frac{4\cdot 3}{9} \cr \frac{c^2+2ab}{c^2}=\frac{4}{3} \end{gather} $$

(5) Na koniec upraszczamy otrzymaną równość i otrzymujemy: $$ \begin{gather} 1+\frac{2ab}{c^2}=\frac{4}{3}\cr \frac{ab}{c^2}=-\frac{1}{6} \cr \frac{a}{c}\cdot\frac{b}{c}=-\frac{1}{6} \end{gather} $$

(6) Teraz wystarczy zauważyć, że po lewej stronie mamy iloczyn sinusów, który powinniśmy byli obliczyć, tj. $$ \sin{\alpha\cdot\sin{\beta=-\frac{1}{6}}} $$ Koledzy z klasy skomentowali jego rozwiązanie w następujący sposób:

a) Luiza: Rozwiązanie Piotra nie jest całkiem poprawne. Popełnił błąd w kroku (5).

b) Filip: Rozwiązanie Piotra jest całkiem poprawne.

c) Anna: Petr popełnił błąd w kroku (4) przy podnoszeniu równości do kwadratu. Powinno być: $$ \frac{a^2+2ab+b^2}{c}=\frac{4\cdot 3}{3} $$

d) Sara: Peter pomylił się w definicji funkcji cosinus. Powinno być $$ \cos{\alpha=\frac{c}{b}}; \cos{\beta=\frac{c}{a}} $$

e) John: Przykład nie został rozwiązany poprawnie, ponieważ straciliśmy jedno rozwiązanie podczas podnoszenia do kwadratu równości w kroku (4).

f) Erika: Wynik jest błędny. Sinus każdego kąta w trójkącie prostokątnym jest liczbą dodatnią, więc ich iloczyn musi być dodatni.

Kto miał rację?