Peter, Hanka, Monika a Ján dostali úlohu vyriešiť problém z oblasti pravdepodobnosti:
Na stole sú $4$ zalepené obálky s listami a $4$ štítky s adresami. Vypočítajte pravdepodobnosť, že aspoň jeden list dorazí k správnemu adresátovi, ak sekretárka náhodne nalepí adresy na obálky.
Študenti úlohu nevypočítali sami, ale pridelili ju umelej inteligencii. AI problém vyriešila nasledovne:
(1) Najprv vypočítame celkový počet spôsobov, ako umiestniť štyri adresy na štyri obálky. Ide o permutácie zo $4$ prvkov, čo je $4!=24$.
(2) Teraz sa pozrime na pravdepodobnosť, že žiadny list nedorazí k správnemu adresátovi. To sa stane len vtedy, ak všetky štyri adresy budú umiestnené na nesprávne obálky. Počet spôsobov, ako to urobiť, je $3!$, pretože prvá adresa môže byť umiestnená na ktorúkoľvek z troch zostávajúcich obálok, druhá na jednu z dvoch zostávajúcich atď. To nám dáva $3!=6$ možností.
(3) Pravdepodobnosť, že žiadny z adresátov nedostane správny list, je: $$\frac{6}{24}=0{,}25$$
(4) Teraz chceme nájsť pravdepodobnosť, že aspoň jeden list dorazí k správnemu adresátovi. Toto môžeme zistiť odčítaním pravdepodobnosti, že žiadny list nedorazí k správnemu adresátovi od $1$. Takže pravdepodobnosť, že aspoň jeden adresát dostane správny list, je: $$1-0{,}25=0{,}75$$ Študenti diskutujú o tom, či umelá inteligencia vyriešila problém správne. Kto má pravdu?
Monika je presvedčená, že umelá inteligencia urobila chybu v kroku (2). Počet možností, že žiadny z adresátov nedostane správny list je $3\cdot3=9$. Požadovaná pravdepodobnosť je potom: $$1-\frac{9}{24}=0{,}625$$
Hanka tvrdí, že umelá inteligencia neurobila žiadnu chybu a pravdepodobnosť vypočítala správne.
Petrovi sa nezdá výpočet v kroku (1). Celkový počet spôsobov, ako umiestniť adresy na obálky je $4^4=256$. Požadovaná pravdepodobnosť je: $$1-\frac{6}{256}=0{,}977$$
Ján hovorí, že umelá inteligencia urobila chybu v kroku (2). Počet možností, že žiadny z adresátov nedostane správny list je $6+4+3+2=15$. Požadovaná pravdepodobnosť je: $$1-\frac{15}{24}=0{,}375$$
(1) Najprv vypočítame celkový počet možných spôsobov, ako umiestniť štyri adresy na štyri obálky. Ide o permutácie zo $4$ prvkov, teda $4!=24$.
(2) Teraz preskúmame pravdepodobnosť, že žiadny list nedorazí k správnemu adresátovi. To sa stane len vtedy, ak všetky štyri adresy budú umiestnené na nesprávne obálky.
Keď nesprávne pripojíme adresu z druhého listu na prvý list (2), zostanú nám len $3$ spôsoby, ako nesprávne umiestniť zvyšné tri adresy.
Podobne, ak pripojíme adresu z tretieho alebo štvrtého listu na prvý list, opäť máme len $3$ možnosti, ako nesprávne umiestniť zvyšné adresy.
Počet spôsobov, ako umiestniť adresy na obálky tak, aby ani jedna nebola správna, je teda $3\cdot3=9$ možností. Pravdepodobnosť, že žiadny z adresátov nedostane správny list, je: $$\frac{9}{24}=0{,}375$$
(3) Teraz chceme určiť pravdepodobnosť, že aspoň jeden list dorazí k správnemu adresátovi. To môžeme zistiť odčítaním pravdepodobnosti, že žiadny list nedorazí k správnemu adresátovi od $1$. Pravdepodobnosť, že aspoň jeden z adresátov dostane správny list, je teda: $$1-0{,}375=0{,}625$$
