Petr, Hanka, Monika a Honza dostali za úkol vyřešit úlohu z oblasti pravděpodobnosti:
Na stole leží $4$ zalepené obálky s dopisy a $4$ štítky s adresami. Spočítejte pravděpodobnost, že alespoň jeden dopis dorazí správnému příjemci, pokud sekretářka nalepí adresy na obálky náhodně.
Úlohu studenti sami nepočítali, ale zadali ji umělé inteligenci. Ta příklad vyřešila takto:
(1) Nejprve spočítáme celkový počet možných způsobů, jak umístit čtyři adresy na čtyři obálky. Jedná se o permutace $4$ prvků, tedy $4!=24$.
(2) Nyní se podívejme na pravděpodobnost, že žádný dopis nedojde správnému příjemci. To se stane pouze v případě, že všechny čtyři adresy jsou umístěny na špatné obálky. Počet způsobů, jak to udělat, je $3!$, protože první adresa může být umístěna na kteroukoli z tří zbývajících obálek, druhá adresa na jednu z dvou zbývajících atd. To dává $3! = 6$ možností.
(3) Pravděpodobnost, že žádný z příjemců nedostane správný dopis, je: $$\frac{6}{24}=0{,}25$$
(4) Nyní chceme zjistit pravděpodobnost, že alespoň jeden dopis dorazí správně. To lze zjistit odečtením pravděpodobnosti, že žádný dopis nedojde správně, od $1$. Pravděpodobnost, že alespoň jeden z příjemců dostane správný dopis je tedy: $$1-0{,}25=0{,}75$$
Studenti se dohadují, zda umělá inteligence vyřešila úlohu správně. Kdo z nich má pravdu?
Monika je přesvědčená, že umělá inteligence udělala chybu v kroku (2). Počet způsobů, u kterých žádný z příjemců nedostane správný dopis, je $3\cdot3=9$. Hledaná pravděpodobnost je: $$1-\frac{9}{24}=0{,}625$$
Hanka tvrdí, že umělá inteligence neudělala žádnou chybu, pravděpodobnost spočítala správně.
Petrovi se nezdá výpočet v kroku (1). Počet způsobů, jak umístit adresy na obálky je $4^4=256$. Hledaná pravděpodobnost je: $$1-\frac{6}{256}=0{,}977$$
Honza říká, že umělá inteligence udělala chybu v kroku (2). Počet způsobů, u kterých žádný z příjemců nedostane žádný dopis $6+4+3+2=15$. Hledaná pravděpodobnost je: $$1-\frac{15}{24}=0{,}375$$
(1) Nejprve spočítáme celkový počet možných způsobů, jak umístit čtyři adresy na čtyři obálky. Jedná se o permutace $4$ prvků, tedy $4!=24$.
(2) Nyní se podívejme na pravděpodobnost, že žádný dopis nedojde správnému příjemci. To se stane pouze v případě, že všechny čtyři adresy jsou umístěny na špatné obálky.
Když na první dopis nalepíme nesprávnou adresu z druhého dopisu (2), zbývají nám pouze $3$ způsoby, jak umístit tři zbývající adresy tak, aby byly nesprávné.
Stejně tak, pokud nalepíme adresu z třetího, resp. čtvrtého dopisu na první dopis, opět máme pouze $3$ možnosti, jak umístit zbývající adresy.
Počet způsobů, jak umístit adresy na obálky tak, aby žádná nebyla správně je tedy $3\cdot3=9$ možností. Pravděpodobnost, že žádný z příjemců nedostane správný dopis, je: $$\frac{9}{24}=0{,}375$$
(3) Nyní chceme zjistit pravděpodobnost, že alespoň jeden dopis dorazí správně. To lze zjistit odečtením pravděpodobnosti, že žádný dopis nedojde správně, od $1$. Pravděpodobnost, že alespoň jeden z příjemců dostane správný dopis je tedy: $$1-0{,}375=0{,}625$$
