Petr, Hanka, Monika i Honza mieli za zadanie rozwiązać zadanie dotyczące prawdopodobieństwa:.
Na stole znajdują się $4$ zapieczętowane koperty z listami i $4$ etykietami adresowych. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden list dotrze do właściwego odbiorcy, jeśli sekretarka losowo naklei adresy na koperty.
Studenci nie obliczyli problemu samodzielnie, ale przypisali go sztucznej inteligencji. Sztuczna inteligencja rozwiązała problem w następujący sposób:
(1) Najpierw obliczamy całkowitą liczbę sposobów umieszczenia czterech adresów na czterech kopertach. Jest to permutacja $4$ elementów, czyli $4!=24$.
(2)Przyjrzyjmy się teraz prawdopodobieństwu, że żaden list nie dotrze do właściwego odbiorcy. Stanie się tak tylko wtedy, gdy wszystkie cztery adresy zostaną umieszczone na niewłaściwych kopertach. Liczba sposobów na zrobienie tego jest następująca $3!$ ponieważ pierwszy adres może zostać umieszczony na dowolnej z pozostałych trzech kopert, drugi adres na jednej z pozostałych dwóch itd. To daje nam $3!=6$ możliwości. (3) Prawdopodobieństwo, że żaden z odbiorców nie otrzyma poprawnego listu wynosi: $$\frac{6}{24}=0{,}25$$
(4)Teraz chcemy znaleźć prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden list dotrze do właściwego odbiorcy. Można to ustalić, odejmując prawdopodobieństwo, że żaden list nie dotrze do właściwego odbiorcy od $1$. Zatem prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden odbiorca otrzyma prawidłowy list wynosi: $$1-0{,}25=0{,}75$$ Uczniowie debatują nad tym, czy sztuczna inteligencja poprawnie rozwiązała zadanie. Kto ma rację?
Monika jest przekonana, że sztuczna inteligencja popełniła błąd w kroku (2). Liczba sposobów na to, aby żaden z odbiorców nie otrzymał poprawnego listu wynosi $3\cdot3=9$. Pożądane prawdopodobieństwo wynosi zatem: $$1-\frac{9}{24}=0{,}625$$
Hanka twierdzi, że sztuczna inteligencja nie popełniła żadnych błędów i poprawnie obliczyła prawdopodobieństwo.
Petr jest zaniepokojony obliczeniami w kroku (1). Całkowita liczba sposobów umieszczania adresów na kopertach wynosi $4^4=256$. Pożądane prawdopodobieństwo wynosi: $$1-\frac{6}{256}=0{,}977$$
Honza twierdzi, że sztuczna inteligencja popełniła błąd w kroku (2). Liczba sposobów na to, aby żaden z odbiorców nie otrzymał poprawnego listu wynosi $6+4+3+2=15$. Pożądane prawdopodobieństwo wynosi: $$1-\frac{15}{24}=0{,}375$$
(1) Najpierw obliczamy całkowitą liczbę możliwych sposobów umieszczenia czterech adresów na czterech kopertach. Jest to permutacja $4$ elementów, więc $4!=24$.
(2) Przeanalizujmy teraz prawdopodobieństwo, że żaden list nie dotrze do właściwego odbiorcy. Stanie się tak tylko wtedy, gdy wszystkie cztery adresy zostaną umieszczone na niewłaściwych kopertach.
Jeśli nieprawidłowo dołączymy adres z drugiego listu do pierwszego listu (2), pozostanie nam tylko $3$ sposoby na nieprawidłowe umieszczenie pozostałych trzech adresów.
Podobnie, jeśli dołączymy adres z trzeciego lub czwartego listu do pierwszego listu, ponownie mamy tylko $3$ możliwości nieprawidłowego umieszczenia pozostałych adresów.
Liczba sposobów umieszczenia adresów na kopertach tak, aby żaden z nich nie był poprawny, wynosi zatem, $3\cdot3=9$ możliwości. Prawdopodobieństwo, że żaden z odbiorców nie otrzyma prawidłowego listu wynosi: $$\frac{9}{24}=0{,}375$$
(3)Teraz chcemy określić prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden list dotrze do właściwego odbiorcy. Można to zrobić, odejmując prawdopodobieństwo, że żaden list nie dotrze do właściwego odbiorcy od $1$. Prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden z odbiorców otrzyma prawidłowy list wynosi zatem: $$1-0{,}375=0{,}625$$
