Kombinatorické nerovnice

Tereza vyriešila nasledujúcu nerovnicu pre $x\in\mathbb{N}$: $${x+1\choose5}\geq5\cdot{x-1\choose 5}$$

(1) Najprv Tereza previedla kombinačné čísla na výrazy s faktoriálmi: $$\frac{(x+1)!}{5!\cdot(x-4)!}\geq5\cdot\frac{(x-1)!}{5!\cdot(x-6)!}$$

(2) Rozložila faktoriály: $$\frac{(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)!}{5!\cdot(x-4)!}\geq5\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)!}{5!\cdot(x-6)!}$$ (3) Zjednodušila výrazy na oboch stranách nerovnice vykrátením rovnakých faktoriálov v čitateľoch a menovateľoch: $$\frac{(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)}{5!}\geq5\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{5!}$$ (4) Ďalej vynásobila obe strany nerovnice $5!$: $$(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)\geq5\cdot(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$$ (5) Potom vydelila obe strany nerovnice výrazom $(x-1)(x-2)(x-3)$: $$(x+1)x\geq5(x-4)(x-5)$$ (6) Tereza roznásobila zátvorky a zjednodušila výslednú kvadratickú nerovnicu do jej štandardného tvaru: \begin{aligned} x^2+x&\geq5(x^2-4x-5x+20)\cr x^2+x&\geq5x^2-45x+100\cr 4x^2-46x+100&\leq0\cr 2x^2-23x+50&\leq0 \end{aligned} (7) Našla korene príslušnej kvadratickej rovnice: $$2x^2-23x+50=0$$ $$x_1\approx2{,}91,\quad x_2\approx 8{,}59$$ (8) Nakoniec Tereza určila riešenie nerovnice, pričom zohľadnila len množinu prirodzených čísel: $$K=\left\{3,4,5,6,7,8\right\}$$ Terezini spolužiaci komentovali jej riešenie. Kto z nich komentoval nesprávne?

• Adam hovorí, že Terezino riešenie je správne.
• Dávid si myslí, že Tereza urobila chybu v kroku (5). Tvrdí, že delenie nerovnice výrazom $(x-1)(x-2)(x-3)$ by mohlo viesť k strate riešení. Problém je v tom, že nemožno deliť nerovnicu výrazom bez toho, aby sme vedeli, aké má znamienko.
• Peter súhlasí s Dávidom. Tvrdí, že po zohľadnení stratených riešení by mal byť správny výsledok: $$K=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$$
• Nikola si myslí, že Tereza zabudla použiť podmienky pre existenciu kombinačných čísel. Pre kombinačné číslo ${n\choose k}$ platí, že $n\geq k\geq 0$. Teda pre existenciu kombinačných čísel $${x+1\choose5}\quad\mbox{a}\quad{x-1\choose 5}$$ musí platiť, že: $$(x+1\geq5\wedge x-1\geq5)\Rightarrow(x\geq4\wedge x\geq6)\Rightarrow x\geq6$$
• Sandra dodáva, že keby sme od začiatku vedeli podmienku $x \geq 6$, mohli by sme v kroku (5) deliť výrazom $(x-1)(x-2)(x-3)$, pretože by sme vedeli, že tento výraz je kladný.
• Tomáš hovorí, že všetko naznačuje, že konečným riešením musí byť $K=\left\{6,7,8\right\}$.