Inecuaciones Combinatorias

Tereza resolvió la siguiente desigualdad para $x\in\mathbb{N}$: $${x+1\choose5}\geq5\cdot{x-1\choose 5}$$

(1) En primer lugar, Tereza convirtió los coeficientes binomiales en expresiones con factoriales: $$\frac{(x+1)!}{5!\cdot(x-4)!}\geq5\cdot\frac{(x-1)!}{5!\cdot(x-6)!}$$

(2) Expandió los factoriales: $$\frac{(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)!}{5!\cdot(x-4)!}\geq5\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)!}{5!\cdot(x-6)!}$$ (3) Simplificó las expresiones a ambos lados de la desigualdad cancelando los factoriales comunes en los numeradores y denominadores: $$\frac{(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)}{5!}\geq5\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{5!}$$ (4) A continuación, multiplicó ambos lados de la desigualdad por $5!$: $$(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)\geq5\cdot(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$$ (5) Luego dividió ambos lados de la desigualdad por la expresión $(x-1)(x-2)(x-3)$: $$(x+1)x\geq5(x-4)(x-5)$$ (6) Tereza expandió los paréntesis y simplificó la desigualdad cuadrática resultante a su forma estándar: \begin{aligned} x^2+x&\geq5(x^2-4x-5x+20)\cr x^2+x&\geq5x^2-45x+100\cr 4x^2-46x+100&\leq0\cr 2x^2-23x+50&\leq0 \end{aligned} (7) Halló las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente: $$2x^2-23x+50=0$$ $$x_1\approx2.91,\quad x_2\approx 8.59$$ (8) Por último, Tereza encontró la solución de la desigualdad considerando únicamente el conjunto de los números naturales: $$K=\left\{3,4,5,6,7,8\right\}$$ Los compañeros de Tereza han comentado su solución. ¿Cuál de ellos la comentó incorrectamente?

• Adam dice que la solución de Tereza es correcta.
• David cree que Tereza cometió un error en el paso (5). Sostiene que dividir la desigualdad por la expresión $(x-1)(x-2)(x-3)$, podría llevar a soluciones equivocadas. El problema es que no se puede dividir una desigualdad por una expresión sin conocer su signo.
• Afirma que después de tener en cuenta las soluciones descartadas, el resultado correcto debería ser: $$K=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$$
• Nikola cree que Tereza se olvidó de aplicar las pruebas para la existencia de coeficientes binomiales. Para un coeficiente binomial ${n\choose k}$, se cumple que $n\geq k\geq 0$. Así, para la existencia de los coeficientes binomiales $${x+1\choose5}\quad\mbox{y}\quad{x-1\choose 5}$$ se debe considerar que: $$(x+1\geq5\wedge x-1\geq5)\Rightarrow(x\geq4\wedge x\geq6)\Rightarrow x\geq6$$
• Sandra añade que si hubiéramos conocido la condición $x\geq6$ desde el principio, podríamos haber dividido por la expresión $(x-1)(x-2)(x-3)$ en el paso (5), ya que habríamos sabido que esta expresión era positiva.
• Tom cree que todo indica que la solución final debería ser $K=\left\{6,7,8\right\}$.