Test z biológie má desať otázok. Každá otázka má štyri možné odpovede, ale len jedna z nich je správna. Janko sa neučil a teraz odpovede vyberá náhodne. Aká je pravdepodobnosť, že prejde testom, ak potrebuje na úspešné zvládnutie odpovedať správne aspoň na $3$ otázky?
Namiesto štúdia biológie Janko vypočítal príslušnú pravdepodobnosť: (1) Najprv vypočítal pravdepodobnosť, že všetky odpovede budú nesprávne. "*Toto by sa mi nemalo stať!" Pravdepodobnosť vypočítal pomocou binomického rozdelenia (Bernoulliho schéma) : $$P_0={10\choose10}\cdot0{,}75^{10}\cdot0{,}25^0=0{,}0563$$
(2) Ďalej vypočítal pravdepodobnosť, že bude mať $9$ odpovedí nesprávnych a $1$ správnu: $$P_1={10\choose9}\cdot0{,}75^9\cdot0{,}25^1=0{,}1877$$
(3) Potom vypočítal pravdepodobnosť, že bude mať $8$ nesprávnych odpovedí a $2$ správne: $$P_2={10\choose8}\cdot0{,}75^8\cdot0{,}25^2=0{,}2816$$:
(4) Tiež vypočítal pravdepodobnosť, že bude mať $7$ nesprávnych odpovedí a $3$ správne: $$P_3={10\choose7}\cdot0{,}75^7\cdot0{,}25^3=0{,}2503$$
(5) Pravdepodobnosť, že Janko testom neprejde, je: $$P=P_0+P_1+P_2+P_3=0{,}7759$$
(6) Pravdepodobnosť, že Janko testom prejde a teda správne odpovie aspoň na $3$ otázky, je: $$1-0{,}7759=0{,}2241$$ Táto pravdepodobnosť sa mu zdala príliš nízka a preto sa rozhodol vrátiť k štúdiu biológie. Janko v teste z biológie neuspel. Podarilo sa mu aspoň správne vyriešiť túto pravdepodobnostnú úlohu?
Janko vyriešil problém správne. Možno je viac matematik ako biológ.
Janko urobil chybu v kroku (1). Platí $0{,}25^0=0$. Preto $P_0=0$.
Janko urobil chybu v kroku (5). Pravdepodobnosť, že testom neprejde je súčet $P_0+P_1+P_2=0{,}5256$. Pravdepodobnosť, že testom prejde je $1-0{,}5256=0{,}4744$.
Janko urobil chybu v kroku (6). Pravdepodobnosť, že testom prejde je už vypočítaná v kroku (5), teda $0{,}7759$.