Test z biologie má deset otázek. U každé z otázek se nabízí $4$ odpovědi, jen jedna je však správná. Jenda se neučil a odpovědi vybírá náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že u testu nepropadne, pokud je k tomu zapotřebí zodpovědět alespoň $3$ otázky správně?
Jenda místo učení biologie počítal příslušnou pravděpodobnost:
(1) Nejprve spočítal, jaká je pravděpodobnost, že bude mít špatně všechny odpovědi. "To by se mi nemělo stát!" Pravděpodobnost spočítal pomocí binomického rozdělení: $$P_0={10\choose10}\cdot0{,}75^{10}\cdot0{,}25^0=0{,}0563$$
(2) Dále počítal pravděpodobnost, že bude mít špatně $9$ odpovědí a $1$ správně: $$P_1={10\choose9}\cdot0{,}75^9\cdot0{,}25^1=0{,}1877$$
(3) Dále počítal pravděpodobnost, že bude mít špatně $8$ odpovědí a $2$ správně: $$P_2={10\choose8}\cdot0{,}75^8\cdot0{,}25^2=0{,}2816$$
(4) Také spočítal pravděpodobnost, že bude mít špatně $7$ odpovědí a $3$ správně: $$P_3={10\choose7}\cdot0{,}75^7\cdot0{,}25^3=0{,}2503$$
(5) Pravděpodobnost, že Jenda testem neprojde, je $$P=P_0+P_1+P_2+P_3=0{,}7759$$ (6) Pravděpodobnost, že Jenda testem projde, tj. zodpoví alespoň $3$ otázky správně, je tedy: $$1-0{,}7759=0{,}2241$$
To mu přišlo málo, tak se šel zase učit biologii.
Jenda u testu z biologie propadl. Podařilo se mu správně spočítat alespoň tuto úlohu z pravděpodobnosti?
Jenda úlohu vyřešil správně, bude z něj spíš matematik než biolog.
Jenda udělal chybu v kroku (1). Platí, že $0{,}25^0=0$, tedy $P_0=0$.
Jenda udělal chybu v kroku (5), pravděpodobnost, že testem neprojde, je součtem $P_0+P_1+P_2=0{,}5256$. . Pravděpodobnost, že projde, je $1-0{,}5256=0{,}4744$.
Jenda udělal chybu v kroku (6), pravděpodobnost, že testem projde, je již ta spočítaná v kroku (5), tj. $0{,}7759$.