Test z biologii składa się z dziesięciu pytań. Każde pytanie ma cztery możliwe odpowiedzi, ale tylko jedna z nich jest poprawna. Jenda nie uczył się i teraz losowo wybiera odpowiedzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie obleje testu, biorąc pod uwagę, że musi odpowiedzieć na co najmniej $3$ pytania poprawnie, aby zdać? Zamiast studiować biologię, Jenda obliczył odpowiednie prawdopodobieństwo:
(1)Najpierw obliczył prawdopodobieństwo otrzymania wszystkich błędnych odpowiedzi. "*To nie powinno mi się przytrafić!" Obliczył prawdopodobieństwo używając rozkładu dwumianowego: $$P_0={10\choose10}\cdot0{,}75^{10}\cdot0{,}25^0=0{,}0563$$
(2)Następnie obliczył prawdopodobieństwo uzyskania $9$ błędnych odpowiedzi i $1$ poprawnej: $$P_1={10\choose9}\cdot0{,}75^9\cdot0{,}25^1=0{,}1877$$
(3)Następnie obliczył prawdopodobieństwo uzyskania $8$ błędnych odpowiedzi i $2$ poprawnych: $$P_2={10\choose8}\cdot0{,}75^8\cdot0{,}25^2=0{,}2816$$
(4)Obliczył również prawdopodobieństwo uzyskania $7$ błędnych odpowiedzi i $3$ poprawnych: $$P_3={10\choose7}\cdot0{,}75^7\cdot0{,}25^3=0{,}2503$$
(5)Prawdopodobieństwo, że Jenda nie zda testu wynosi: $$P=P_0+P_1+P_2+P_3=0{,}7759$$ (6)Zatem prawdopodobieństwo, że Jenda zda test, tj. odpowie na co najmniej $3$pytania poprawnie, to: $$1-0{,}7759=0{,}2241$$
Uznał to prawdopodobieństwo za zbyt niskie, więc postanowił wrócić do studiowania biologii.
Jenda oblał test z biologii. Czy przynajmniej udało mu się poprawnie rozwiązać ten problem z prawdopodobieństwem?
Jenda rozwiązał problem poprawnie; może być bardziej matematykiem niż biologiem.
Jenda popełnił błąd w kroku (1). Utrzymuje $0{,}25^0=0$. Dlatego $P_0=0$.
Jenda popełnił błąd w kroku (5). Prawdopodobieństwo, że nie zda testu jest sumą $P_0+P_1+P_2=0{,}5256$. Prawdopodobieństwo, że zda, wynosi $1-0{,}5256=0{,}4744$.
Jenda popełnił błąd w kroku (6). Prawdopodobieństwo, że zda on test jest równe prawdopodobieństwu obliczonemu w kroku (5), które wynosi $0{,}7759$.