Úloha: Zo skupiny $20$ žrebov označených rôznymi číslami od $1$ do $20$ vylosujeme súčasne $2$ žreby. Aká je pravdepodobnosť, že oba vyžrebované lístky budú označené prvočíslom?
Tomáš vypočítal:
(1) V osudí je spolu $8$ lístkov označených prvočíslami.
(2) Pravdepodobnosť, že prvý vyžrebovaný lístok bude označený prvočíslom je $\frac{8}{20}$.
(3) Ak je prvý vyžrebovaný lístok označený prvočíslom potom pravdepodobnosť, že aj druhý vyžrebovaný lístok bude označený prvočíslom je $\frac{8}{20}$.
(4) Pravdepodobnosť, že oba vyžrebované lístky budú označené prvočíslom je teda $\frac{8}{20}\cdot\frac{8}{20} = 0{,}16$.
Tomášove riešenie je nesprávne. Určte, kde urobil vo svojej úvahe chybu.
Chyba je v kroku (1). V intervale $\langle1; 20\rangle$ je len $7$ prvočísiel. Pravdepodobnosť, že oba vylosované lístky budú označené prvočíslom je $\frac{7}{20}\cdot\frac{7}{20}\approx 0{,}1225$.
Chyba je v kroku (3). Ak je prvý vyžrebovaný lístok označený prvočíslom potom pravdepodobnosť, že aj druhý vyžrebovaný lístok bude označený prvočíslom, je $\frac{7}{19}$. Výsledná pravdepodobnosť je $\frac{8}{20}\cdot\frac{7}{19} \approx 0{,}1474$.
Chyba je v kroku (4). Pravdepodobnosť, že oba vyžrebované lístky budú označené prvočíslom je $\frac{8}{20} + \frac{8}{20} = 0{,}8$.
Chyba je v kroku (4). Pravdepodobnosť, že oba vyžrebované lístky budú označené prvočíslom je $1 - \left(\frac{8}{20} \cdot \frac{8}{20}\right) = 0{,}84$.