Tarea: De una bolsa que contiene $20$ billetes de lotería numerados de $1$ a $20$, extraeremos simultáneamente $2$ billetes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos billetes extraídos tengan números primos?
Thomas calculó::
(1) En la bolsa hay un total de 8 billetes rotulados con números primos
(2) La probabilidad de que el primer billete extraído contenga un número primo es $\frac{8}{20}$.
(3) Si el primer billete extraído está rotulado con un número primo, la probabilidad de que el segundo billete extraído también contenga un número primo es $\frac{8}{20}$.
(4) Por lo tanto, la probabilidad de que ambos billetes extraídos contengan números primos es $\frac{8}{20}\cdot\frac{8}{20} = 0.16$.
La solución de Thomas es incorrecta. Determina dónde cometió un error en su razonamiento.
El error está en el paso (1). En el intervalo $\left[1; 20\right]$, sólo hay $7$ números primos. La probabilidad de que ambos billetes extraídos contengan números primos es $\frac{7}{20}\cdot\frac{7}{20}\approx 0.1225$.
El error está en el paso (3). Si el primer billete extraído contiene un número primo, la probabilidad de que el segundo billete extraído contenga también un número primo es $\frac{7}{19}$. La probabilidad resultante es $\frac{8}{20}\cdot\frac{7}{19} \approx 0.1474$.
El error está en el paso (4). La probabilidad de que los dos billetes extraídos tengan números primos es $\frac{8}{20} + \frac{8}{20} = 0.8$.
El error está en el paso (4). La probabilidad de que los dos billetes extraídos tengan números primos es $1 - \left(\frac{8}{20} \cdot \frac{8}{20}\right) = 0.84$.