Všetky steny drevenej kocky s dĺžkou hrany $10\, \mathrm{cm}$ boli natreté modrou farbou. Po zaschnutí bola kocka rozrezaná na $1000$ rovnako veľkých kociek s dĺžkou hrany $1\, \mathrm{cm}$. Aká je pravdepodobnosť, že pri náhodnom výbere jednej z týchto malých kociek vyberieme takú, ktorá má presne dve modré steny?
Martina vyriešila úlohu takto:
(1) Drevená kocka má spolu $12$ hrán.
(2) Každá hrana oddeľuje $2$ z jej modrých stien.
(3) Na každej hrane je $10$ takých malých kociek, ktoré majú práve $2$ modré steny, to znamená, že $120$ malých kociek má presne dve modré steny.
(4) Pravdepodobnosť výberu malej kocky s dvomi modrými stranami z $1000$ je $\frac{120}{1000} = 0{,}12$.
Martina urobila v kroku (3) chybu. V čom je chyba?
Malé kocky, ktoré obsahujú vrcholy pôvodnej kocky, majú tri modré steny. Preto je na každej hrane len $8$ malých kociek s dvoma modrými stenami. Rozrezaním vzniklo spolu $96$ $(=8\cdot12)$ kociek s dvoma modrými stenami.
Malé kocky, ktoré obsahujú vrcholy pôvodnej kocky, sa počítajú dvakrát. Počet malých kociek, ktoré majú presne dve modré steny, je teda $112$ $(=120-8)$.
Malé kocky, ktoré obsahujú vrcholy pôvodnej kocky, sa spočítajú trikrát. Celkový počet malých kociek, ktoré majú presne dve modré steny, je teda $104$ $(=120 - 2\cdot8)$.
Malé kocky, ktoré obsahujú vrcholy pôvodnej kocky, majú tri modré steny. Preto existuje $8$ malých kociek s dvoma modrými stenami na každej hrane, ktoré sa však počítajú dvakrát. Počet malých kociek s dvoma modrými stenami je $48$ $\left(=\frac{8\cdot12}{2}\right)$.
(1) Drevená kocka má celkom $12$ hrán.
(2) Každá hrana oddeľuje $2$ jej modré steny.
(3) Na každej hrane je $10$ kociek. Tie, ktoré obsahujú vrcholy pôvodnej kocky, však majú tri modré steny. Na každej hrane teda zostáva $8$ kociek, ktoré majú presne $2$ modré steny, t. j. $96$ kociek má presne dve modré steny.
(4) Pravdepodobnosť výberu malej kocky s dvomi modrými stenami z $1000$ je $\frac{96}{1000} = 0{,}096$.