Todas las caras de un cubo de madera con una longitud de arista de $10\, \mathrm{cm}$ fueron pintadas de azul. Una vez se hubo secado, el cubo se cortó en $1000$ pequeños cubos del mismo tamaño con una longitud de arista de $1\, \mathrm{cm}$ cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que, al seleccionar al azar uno de estos pequeños cubos, saquemos el que tiene exactamente dos caras azules?
Martina resolvió el problema de la siguiente manera:
(1) El cubo de madera tiene un total de $12$ aristas.
(2) Cada arista separa $2$ de sus caras azules.
(3) En cada arista hay $10$ pequeños cubos de este tipo que tienen exactamente $2$ caras azules, es decir, $120$ de los pequeños cubos tienen exactamente dos caras azules.
(4) La probabilidad de sacar un pequeño cubo con dos caras azules de entre $1000$ es $\frac{120}{1000} = 0.12$.
Martina ha cometido un error en el paso (3). ¿Cuál es el error?
Los pequeños cubos que contienen los vértices del cubo original tienen tres caras azules. Por lo tanto, en cada arista, sólo hay $8$ pequeños cubos con dos caras azules.. Al cortar, se crearon un total de $96$ $(=8\cdot12)$ cubitos con dos caras azules.
Los pequeños cubos que contienen los vértices del cubo original se cuentan dos veces. Por lo tanto, el número de cubitos que tienen exactamente dos caras azules es $112$ $(=120-8)$.
Los pequeños cubos que contienen los vértices del cubo original se cuentan tres veces. Por lo tanto, el número total de cubitos que tienen exactamente dos caras azules es $104$ $(=120 – 2\cdot8)$.
Los pequeños cubos que contienen los vértices del cubo original tienen tres caras azules. Por lo tanto, hay $8$ pequeños cubos con dos caras azules en cada arista, pero se cuentan dos veces. El número de cubitos con dos caras azules es $48$ $\left(=\frac{8\cdot12}{2}\right)$.
(1) El cubo de madera tiene un total de $12$ aristas.
(2) Cada arista separa $2$ de sus caras azules.
(3) Hay $10$ cubitos en cada arista. Sin embargo, los que contienen los vértices del cubo original tienen tres caras azules. Así que quedan $8$ pequeños cubos en cada arista que tienen exactamente $2$ caras azules, es decir., $96$ cubitos tienen exactamente dos caras azules.
(4) La probabilidad de sacar un cubito con dos caras azules de $1000$ es $\frac{96}{1000} = 0.096$.