Všechny stěny dřevěné krychle o délce hrany $10\, \mathrm{cm}$ byly natřeny modrou barvou. Po osušení byla krychle rozřezána na $1000$ stejně velkých krychliček o délce hrany $1\, \mathrm{cm}$. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru krychličky vytáhneme tu, která má modré právě dvě stěny?
Martina vyřešila úlohu takto:
(1) Dřevěná krychle má celkem $12$ hran.
(2) Každá hrana odděluje $2$ její modré stěny.
(3) Na každé hraně je $10$ takových krychliček, které mají právě $2$ stěny modré, tj. $120$ krychliček má právě dvě modré stěny.
(4) Pravděpodobnost, že z $1000$ krychliček vybereme krychličku se dvěma modrými stěnami, je $\frac{120}{1000} = 0{,}12$.
Martina udělala chybu v kroku (3). V čem chyba spočívá?
Krychličky, které obsahují vrcholy původní krychle, mají tři stěny modré. Na každé hraně je tedy pouze $8$ krychliček se dvěma modrými stěnami. Rozřezáním vzniklo $96$ $(=8\cdot12)$ krychliček se dvěma modrými stěnami.
Krychličky, které obsahují vrcholy původní krychle, jsou započítány dvakrát. Počet krychliček, které mají právě dvě modré stěny, je $112$ $(=120-8)$.
Krychličky, které obsahují vrcholy původní krychle, jsou započítány třikrát. Celkový počet krychliček, které mají právě dvě modré stěny, je $104$ $(=120 – 2\cdot8)$.
Krychličky, které obsahují vrcholy původní krychle, mají tři stěny modré. Na každé hraně je tedy $8$ krychliček se dvěma modrými stěnami, jsou však započítány dvakrát. Počet krychliček se dvěma modrými stěnami, je $48$ $\left(=\frac{8\cdot12}{2}\right)$.
(1) Dřevěná krychle má celkem $12$ hran.
(2) Každá hrana odděluje $2$ její modré stěny.
(3) Na každé hraně je $10$ krychliček. Ty, které obsahují vrcholy původní krychle, však mají tři stěny modré. Zbývá tedy na každé hraně $8$ krychliček, které mají právě $2$ stěny modré, tj. $96$ krychliček má právě dvě modré stěny.
(4) Pravděpodobnost, že z $1000$ krychliček vybereme krychličku se dvěma modrými stěnami, je $\frac{96}{1000} = 0{,}096$.