Aká je pravdepodobnosť, že pri šiestich hodoch kockou padne šesť jednotiek?
Karolove riešenie:
(1) Jednotlivé hody kockou sú nezávislé udalosti.
(2) Pravdepodobnosť výskytu jednotky v prvom hode $(P_1)$ je $\frac16$, pravdepodobnosť výskytu jednotky v druhom hode $(P_2)$ je $\frac16$ a tak ďalej. Pravdepodobnosť výskytu jednotky v šiestom hode $(P_6)$ je tiež $\frac16$.
(3) Pravdepodobnosť výskytu šiestich jednotiek v šiestich hodoch $(P)$ sa vypočíta ako $P_1+P_2+\ldots+P_6=1$. To je istá udalosť!
Ján, Erika, Peťo, Anna a Barbora sa vyjadrili k riešeniu. Ktorý z nich uviedol pravdivé tvrdenie o Karolovom riešení?
Ján: Chyba je v kroku (3). Výskyt šiestich jednotiek v šiestich hodoch je prienikom udalostí "hodenie jednotky v prvom hode", "hodenie jednotky v druhom hode" atď. Pravdepodobnosť prieniku nezávislých udalostí je súčinom ich pravdepodobností, takže $P=\frac{1}{6^6}\cong0{,}0000214$.
Erika: Chyba je v kroku (3). Udalosti sú nezávislé, takže hľadaná pravdepodobnosť nezávisí od počtu hodov, t. j. $P=\frac16$.
Peter: Chyba je v kroku (1). Výskyt jednotky v jednotlivých hodoch nie je nezávislou udalosťou, pretože pravdepodobnosť výskytu jednotky sa zvyšuje s každým ďalším hodom. Správny spôsob výpočtu pravdepodobnosti výskytu šiestich jednotiek v šiestich hodoch je $P=\frac16\cdot\frac15\cdot\frac14\cdot\frac13\cdot\frac12\cdot1\cong0{,}00139$.
Barbora: Chyba je v kroku (3). Hodenie šiestich jednotiek v šiestich hodoch je prienikom udalostí "hodenie jednotky v prvom hode", "hodenie jednotky v druhom hode" atď. Pravdepodobnosť prieniku nezávislých udalostí je súčinom ich pravdepodobností. Výsledok šiestich hodov však nie je ovplyvnený poradím v akom jednotlivé výsledky nastali. Preto musíme pravdepodobnosť vynásobiť počtom permutácií jednotlivých výsledkov. Pravdepodobnosť je teda $P=6!\cdot\frac{1}{6^6}\cong0{,}0154$.
Anna: Riešenie je správne.