Jaká je pravděpodobnost, že při šesti hodech kostkou hodíme šestkrát jedničku?
Karlovo řešení:
(1) Padnutí jedniček v jednotlivých hodech jsou nezávislé jevy.
(2) Pravděpodobnost padnutí jedničky v prvním hodu $(P_1)$ je $\frac16$, pravděpodobnost padnutí jedničky ve druhém hodu $(P_2)$ je $\frac16$, obdobně dále, tj. pravděpodobnost padnutí jedničky v šestém hodu $(P_6)$ je také $\frac16$.
(3) Pravděpodobnost, že při šesti hodech kostkou hodíme šestkrát jedničku $(P)$ spočítáme jako $P_1+P_2+\ldots+P_6=1$. Jedná se o jev jistý!
Jan, Erica, Petr, Barbara a Anna komentovali jeho postup řešení. Určete, který z nich uvedl pravdivé tvrzení o Karlově postupu.
Jan: Chyba je v kroku (3). Padnutí šesti jedniček v šesti hodech je průnikem jevů „padne jednička v prvním hodu“, „padne jednička ve druhém hodu“, atd. Pravděpodobnost průniku nezávislých jevů je součinem jejich pravděpodobností, proto $P=\frac{1}{6^6}\cong0{,}0000214$.
Erica: Chyba je v kroku (3). Jde o nezávislé jevy, proto hledaná pravděpodobnost nezávisí na počtu hodů, tj. $P=\frac16$.
Petr: Chyba je v kroku (1). Padnutí jedničky v jednotlivých hodech jsou závislé jevy, při každém dalším hodu se zvyšuje pravděpodobnost padnutí jedničky. Tj. hledanou pravděpodobnost určíme jako $P=\frac16\cdot\frac15\cdot\frac14\cdot\frac13\cdot\frac12\cdot1\cong0{,}00139$.
Barbara: Chyba je v kroku (3). Padnutí šesti jedniček v šesti hodech je průnikem jevů „padne jednička v prvním hodu“, „padne jednička ve druhém hodu“, atd. Pravděpodobnost průniku nezávislých jevů je součinem jejich pravděpodobností. Výsledek šestice hodů nezáleží na pořadí jednotlivých výsledků, nesmíme proto zapomenout pravděpodobnost vynásobit počtem permutací jednotlivých výsledků. Pravděpodobnost tedy bude $P=6!\cdot\frac{1}{6^6}\cong0{,}0154$.
Anna: Karlův postup je zcela správně.