Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia sześciu jedynek w sześciu rzutach kostką?
Rozwiązanie Karela:
(1) Wyrzucenie jedynki w poszczególnych rzutach jest zdarzeniem niezależnym.
(2) Prawdopodobieństwo wyrzucenia jedynki w pierwszym rzucie $(P_1)$ wynosi $\frac16$, prawdopodobieństwo wyrzucenia jedynki w drugim rzucie $(P_2)$ wynosi $\frac16$ i tak dalej, prawdopodobieństwo wyrzucenia jedynki w szóstym rzucie $(P_6)$ również wynosi $\frac16$.
(3) Prawdopodobieństwo wyrzucenia sześciu jedynek w sześciu rzutach $(P)$ jest obliczane jako $P_1+P_2+\ldots+P_6=1$. To jest pewne zdarzenie!
Jan, Erica, Petr, Anna i Barbara skomentowali jego rozwiązanie. Które z nich wypowiedziało się prawdziwie na temat rozwiązania Karela?
Jan: Błąd jest w kroku (3). Wyrzucenie sześciu jedynek w sześciu rzutach jest przecięciem zdarzeń "wyrzucenie jedynki w pierwszym rzucie", "wyrzucenie jedynki w drugim rzucie" itd. Prawdopodobieństwo przecięcia niezależnych zdarzeń jest iloczynem ich prawdopodobieństw, więc $P=\frac{1}{6^6}\cong0{,}0000214$.
Erica: Błąd jest w kroku (3). Zdarzenia są niezależne, więc szukane prawdopodobieństwo nie zależy od liczby rzutów, tj. $P=\frac16$.
Petr: Błąd tkwi w kroku (1). Wystąpienie jedynki w poszczególnych rzutach nie jest niezależnym zdarzeniem, ponieważ prawdopodobieństwo wyrzucenia jedynki rośnie z każdym kolejnym rzutem. Prawidłowy sposób obliczenia prawdopodobieństwa wyrzucenia sześciu jedynek w sześciu rzutach to $P=\frac16\cdot\frac15\cdot\frac14\cdot\frac13\cdot\frac12\cdot1\cong0{,}00139$.
Barbara: Błąd jest w kroku (3). Wyrzucenie sześciu jedynek w sześciu rzutach jest przecięciem zdarzeń "wyrzucenie jedynki w pierwszym rzucie", "wyrzucenie jedynki w drugim rzucie" itd. Prawdopodobieństwo przecięcia niezależnych zdarzeń jest iloczynem ich prawdopodobieństw. Jednak na wynik sześciu rzutów nie ma wpływu kolejność, w jakiej występują poszczególne wyniki. Dlatego musimy pomnożyć prawdopodobieństwo przez liczbę permutacji poszczególnych wyników. Zatem prawdopodobieństwo wynosi $P=6!\cdot\frac{1}{6^6}\cong0{,}0154$.
Anna: Rozwiązanie jest prawidłowe.