Trieda je zložená z $30$ študentov. V triede je presne polovica dievčat a polovica chlapcov. Žiaci si zvolia zloženie triedneho parlamentu. Voliť budú štyroch zástupcov: predsedu triedy, podpredsedu, pokladníka a tiež kvetinárku. Zároveň sa žiaci dohodnú, že polovicu členov parlamentu budú tvoriť dievčatá a polovicu chlapci. Tomáš spočítal, koľko možností zloženia triedneho parlamentu existuje.
Tomášovo riešenie:
(1) V triede je $15$ dievčat a $15$ chlapcov, z ktorých sa majú vybrať $4$ členovia parlamentu. Členmi parlamentu teda budú $2$ dievčatá a $2$ chlapci.
(2) Počet možných výberov $2$ dievčat z $15$ je určený ako počet usporiadaných dvojíc s $15$ prvkov (variácie $2$. triedy z $15$ prvkov), t. j. $15\cdot 14 = 210$. Podobne určíme počet možných výberov $2$ chlapcov z $15$, t. j. $15\cdot 14 = 210$.
(3) Existuje teda $210$ možností výberu dvojice dievčat a $210$ možností výberu dvojice chlapcov. Celkovo teda dostaneme $210\cdot 210=44\,100$ rôznych štvoríc členov triedneho parlamentu.
(4) Teraz uvažujme, že pre každú štvoricu členov parlamentu existuje $4!$ spôsobov ako im priradiť funkcie. Celkový počet variácií zloženia triedneho parlamentu je $44\,100\cdot 4!=1\,058\,400$.
Tomášovo riešenie je nesprávne. Určte, ako by malo vyzerať správne riešenie a ktorý krok je nesprávny.
Chyba je v kroku (2). Pri zvolenom postupe výberu dvojíc dievčat a dvojíc chlapcov nezáleží na ich poradí. Tomáš mal určiť ich počet ako počet neusporiadaných dvojíc z $15$ prvkov (kombinácie $2$. triedy z $15$ prvkov), ${15 \choose 2}=105$. Počet štvoríc potom (podľa kroku 3) bude $105\cdot 105=11\,025$. Výsledný počet možností zloženia triedneho parlamentu (podľa kroku 4) je potom $11\,025\cdot 4!=264\,600$.
Chyba je v kroku (4). Pre každú štvoricu členov parlamentu existuje $2!\cdot 2!$ ("počet preskupení dievčat" ∙ "počet preskupení chlapcov") spôsobov priradenia funkcie členom parlamentu. Celkový počet možností zloženia triedneho parlamentu je $44\,100 \cdot 2!\cdot 2!=167\,400.$
Chyba je v kroku (3). Existuje $210$ možností výberu dvojice dievčat a $210$ možností výberu dvojice chlapcov. Celkovo teda dostaneme $210+210=420$ rôznych štvoríc členov parlamentu. Výsledný počet možností zloženia triedneho parlamentu (podľa kroku 4) je potom $420\cdot 2!=10\,800$.
Chyba je v kroku (2). Tomáš mal určiť počet dvojíc dievčat a chlapcov ako počet usporiadaných dvojíc s opakovaním $15$ prvkov (variácie s opakovaním $2$. triedy z $15$ prvkov), t. j. $15^2=225$. Počet štvoríc potom bude (podľa kroku 3) $225\cdot 225=50\,625$. Výsledný počet možností zloženia triedneho parlamentu (podľa kroku 4) je potom $50\,625\cdot 4!=1\,215\,000$.