Třída $30$ studentů, která má právě polovinu dívek a polovinu chlapců, si volí obsazení třídní samosprávy. Vybírají ze svého středu 4 zástupce: předsedu třídy, místopředsedu, pokladníka a také květináře. Každý student může vykonávat nejvýše jednu funkci, zároveň se studenti dohodli, že polovinu členů samosprávy budou tvořit dívky, polovinu chlapci. Tomáš spočítal, kolik variant složení třídní samosprávy připadá do úvahy.
Tomášovo řešení:
(1) Ve třídě je $15$ dívek a $15$ chlapců, z nichž mají být vybráni $4$ členové samosprávy. Členy samosprávy tedy budou $2$ dívky a $2$ chlapci.
(2) Počet možných výběrů $2$ dívek z $15$ určíme jako počet uspořádaných dvojic z $15$ prvků (variace 2. třídy z 15 prvků), tj. $15\cdot 14 = 210$. Obdobně určíme počet možných výběrů $2$ chlapců z $15$, tj. $15\cdot 14=210$.
(3) Existuje tedy $210$ možností, jak vybrat dvojici dívek a $210$ možností, jak vybrat dvojici chlapců. Celkem tedy dostáváme $210\cdot 210=44\,100$ různých čtveřic členů samosprávy.
(4) Nyní je třeba zvážit, že pro každou čtveřici členů samosprávy existuje $4!$ způsobů, jak členům samosprávy přidělit funkce. Celkový počet variant složení třídní samosprávy je $44\,100\cdot 4!=1\,058\,400$.
Tomášovo řešení je chybné. Určete, jak má vypadat správné řešení a ve kterém kroku je chyba.
Chyba je v kroku (2). Při zvoleném postupu výběru dvojice dívek i dvojice chlapců nezáleží na jejich pořadí. Tomáš měl jejich počet určit jako počet neuspořádaných dvojic z $15$ prvků (kombinace 2. třídy z 15 prvků), tj. ${15 \choose 2}=105$. Čtveřic pak (dle kroku 3) bude $105\cdot 105=11\,025$. Výsledný počet variant třídní samosprávy (dle kroku 4) je pak $11\,025\cdot 4!=264\,600$.
Chyba je v kroku (4). Pro každou čtveřici členů samosprávy existuje $2!\cdot 2!$ ("počet přeuspořádání dívek" ∙ "počet přeuspořádání chlapců") způsobů, jak členům samosprávy přidělit funkce. Celkový počet variant složení třídní samosprávy je $44\,100 \cdot 2!\cdot 2!=167\,400.$
Chyba je v kroku (3). Existuje $210$ možností, jak vybrat dvojici dívek, a $210$ možností, jak vybrat dvojici chlapců. Celkem tedy dostáváme $210+210=420$ různých čtveřic členů samosprávy. Výsledný počet variant třídní samosprávy (dle kroku 4) je pak $420\cdot 2!=10\,800$.
Chyba je v kroku (2). Tomáš měl počet dvojic dívek a chlapců určit jako počet uspořádaných dvojic s opakováním z $15$ prvků (variace s opakováním 2. třídy z 15 prvků), tj. $15^2=225$. Čtveřic pak (dle kroku 3) bude $225\cdot 225=50\,625$. Výsledný počet variant třídní samosprávy (dle kroku 4) je pak $50\,625\cdot 4!=1\,215\,000$.