Wykresem funkcji kwadratowej $$ f(x)=2x^2+4x-6 $$ jest parabola. Zadaniem Emila było wyznaczenie współrzędnych jej wierzchołka $V=[v_1,v_2]$.
Emil postępował w następujący sposób:
(1) Zdał sobie sprawę, że dla funkcji kwadratowej: $$ f(x)=ax^2+bx+c $$ istnieje wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka: $$ v_1=-\frac{b}{2a} $$ Podstawił $a=2$, $b=4$ i w ten sposób uzyskał: $$ v_1=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1 $$
(2) Emil obliczył drugą współrzędną $v_2$ poprzez podstawienie $v_1=-1$ za $x$ do równania funkcji: $$ v_2=f(v_1)=2v_1^2+4v_1-6=2(-1)^2+4(-1)-6=2-4-6=-8 $$
(3) Ustalił, że współrzędne wierzchołka to: $$ V=[-1,-8] $$
Suzan nie zgodziła się z Emilem. Sprzeciwiła się jego procedurze i nalegała na swoją:
(1) Suzan wyznaczyła przecięcia wykresu podanej funkcji kwadratowej z osią $x$ rozwiązując równanie $f(x)=0$, czyli $2x^2+4x-6=0$. Korzystając ze wzoru kwadratowego, otrzymała: $$ x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2}=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{4}=\frac{-4\pm 8}{4} $$ and so: $$ x_1=\frac{-4+8}{4}=1,~ x_2=\frac{-4-8}{4}=-3 $$
Ponieważ parabola jest symetryczna względem osi pionowej przechodzącej przez wierzchołek paraboli, współrzędna $v_1$ jest dokładnie punktem środkowym między punktami $x_1=1$ i $x_2=-3$. Z wykresu wynika, że: $$ v_1=-1 $$
Suzan zgodziła się, że kroki (2) i (3) procedury Emila są poprawne i dalej postępowała identycznie. W ten sposób również uzyskała współrzędne wierzchołka: $$ V=[-1,-8] $$
Robert uważnie obserwował ich podejście i zdecydował, że procedurę można uprościć. Użył metody "uzupełniania kwadratu".
(1) W równaniu funkcji: $$ f(x)=2x^2+4x-6 $$
odjął współczynnik wyrażenia kwadratowego od wyrażenia kwadratowego i liniowego: $$ f(x)=2(x^2+2x)-6 $$
(2) Uzupełnił on dwumian kwadratowy w nawiasie do trójmianu $x^2+2x+1$, tak że jest on równy kwadratowi dwumianu $x+1$, co oznacza: $$ x^2+2x+1= (x+1)^2 $$
Równanie funkcji zapisał jako:
$$ f(x)=2(x^2+2x+1-1)-6 $$
(dodawanie i odejmowanie $1$ nie zmienia wartości wyrażenia).
(3) Ostatecznie uprościł równanie do: $$ \begin{aligned} f(x)&=2(x+1)^2-2\cdot 1-6 \cr f(x)&=2(x+1)^2-8 \end{aligned} $$
(4) Na podstawie tego równania Robert wyznaczył współrzędne $V$: $$ V=[-1,-8] $$
Wskaż prawdziwe stwierdzenie:
Postepowanie wszystkich trzech uczniów są prawidłowe.
Tylko rozumowanie Suzan jest prawidłowe.
Tylko rozumowanie Roberta jest poprawne.
Tylko rozumowanie Emila jest poprawne.
Podane informacje nie są wystarczające do znalezienia współrzędnych wierzchołka.
Robert i Emil zastosowali metodę, która jest ogólna dla rozwiązania tego problemu. Postepowanie Suzan jest poprawne, ale nie może być zastosowane, jeśli odpowiednie równanie kwadratowe $f(x)=0$ nie ma rozwiązania.
