Znajdź kąt $x$ spełniający równanie: $$3\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)=4-7\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)$$ Użyj kalkulatora do obliczenia kąta. Zaokrąglij wyliczony kąt do jednego miejsca po przecinku.
Rozwiązanie Jany:
(1) Przenosząc wszystkie wyrażenia cosinusowe na jedną stronę równania i łącząc je, Jana uzyskała uproszczone równanie: \begin{aligned} 10\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)&=4\cr \cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)&=0{,}4 \end{aligned} (2) Używając podstawienia $b=\frac{x}{3}+30^\circ$ następnie uprościła równanie do: $$\cos b=0{,}4$$ (3) Następnie użyła kalkulatora do rozwiązania tego podstawowego równania trygonometrycznego. Po zaokrągleniu do jednego miejsca po przecinku określiła wartość podstawionej zmiennej jako: $$b\approx 66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ gdzie } k\in\mathbb{Z}$$ (4) Ostatecznie, po podstawieniu z powrotem i rozwiązaniu dla $x$, znalazła: \begin{aligned} \frac{x}{3}+30^\circ&=66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x&\approx109{,}2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ gdzie } k\in\mathbb{Z} \end{aligned} Jana popełniła jednak błąd w jednym kroku. Wskaż nieprawidłowy krok.
Błąd występuje w kroku (1). Jana popełniła błąd podczas upraszczania równania. Prawidłowe uproszczone równanie powinno wyglądać następująco: $$-4\cdot\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)=4$$
Błąd występuje w kroku (2). Podstawienie powinno brzmieć: $$b=\cos\left(\frac{x}{3}+30^\circ\right)$$ Wówczas podstawioną zmienną będzie $b=0{,}4$.
Błąd tkwi w kroku (3). Równanie $\cos b=0{,}4$ma dwa rozwiązania w przedziale $\langle 0^\circ;360^\circ \rangle$.
Błąd występuje w kroku (4). Podczas rozwiązywania dla $x$, Jana nieprawidłowo określiła okres. Prawidłowy wynik powinien brzmieć. \begin{aligned} \frac{x}{3}+30^\circ&\approx66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x&\approx 109{,}2^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ gdzie }k\in\mathbb{Z} \end{aligned}
Równanie $\cos b=0{,}4$ ma dwa rozwiązania w przedziale $\langle 0^\circ;360^\circ \rangle$. Kalkulator wyświetla jednak tylko rozwiązanie z pierwszego kwadrantu!
Oprócz rozwiązania pierwszego kwadrantu: $$b_1\approx 66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ$$ musimy również uwzględnić rozwiązanie czwartego kwadrantu: $$b_2\approx\left(360^\circ-66{,}4^\circ\right)+k\cdot360^\circ$$ Na koniec musimy powrócić do podstawienia i rozwiązać niewiadomą $x$:
Dla rozwiązania pierwszego kwadrantu: \begin{aligned} b_1&\approx 66{,}4^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ gdzie } k\in\mathbb{Z}\cr \frac{x_1}{3}+30^\circ&\approx 66{,}4^\circ+k\cdot 360^\circ\cr \frac{x_1}{3}&\approx 36{,}4^\circ+k\cdot360^\circ\cr x_1&\approx 109{,}2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ \end{aligned} Rozwiązanie dla czwartego kwadrantu:\begin{aligned} b_2&\approx293{,}6^\circ+k\cdot360^\circ,\mbox{ gdzie } k\in\mathbb{Z}\cr \frac{x_2}{3}+30^\circ&\approx 293{,}6^\circ+k\cdot360^\circ\cr \frac{x_2}{3}&\approx263{,}6^\circ+k\cdot360^\circ\cr x_2&\approx790{,}8^\circ+k\cdot 1\,080^\circ \end{aligned} Prawidłowy wynik w odpowiedniej formie to: \begin{aligned} x_1&\approx 109{,}2^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ gdzie }k\in\mathbb{Z}\cr x_2&\approx 790{,}8^\circ+k\cdot 1\,080^\circ,\mbox{ gdzie }k\in\mathbb{Z} \end{aligned}