Nierówności kombinatoryczne

Tereza rozwiązała następującą nierówność dla $x\in\mathbb{N}$: $${x+1\choose5}\geq5\cdot{x-1\choose 5}$$

(1)Najpierw Tereza przekształciła współczynniki dwumianowe w wyrażenia z czynnikami: $$\frac{(x+1)!}{5!\cdot(x-4)!}\geq5\cdot\frac{(x-1)!}{5!\cdot(x-6)!}$$

(2) Rozszerzyła współczynniki: $$\frac{(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)!}{5!\cdot(x-4)!}\geq5\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)!}{5!\cdot(x-6)!}$$ (3)Uprościła wyrażenia po obu stronach nierówności, anulując wspólne współczynniki w licznikach i mianownikach: $$\frac{(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)}{5!}\geq5\cdot\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{5!}$$ (4)Następnie pomnożyła obie strony nierówności przez $5!$: $$(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)\geq5\cdot(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$$ (5) Następnie podzieliła obie strony nierówności przez wyrażenie $(x-1)(x-2)(x-3)$: $$(x+1)x\geq5(x-4)(x-5)$$ (6) Tereza rozszerzyła nawiasy i uprościła otrzymaną nierówność kwadratową do jej standardowej postaci: \begin{aligned} x^2+x&\geq5(x^2-4x-5x+20)\cr x^2+x&\geq5x^2-45x+100\cr 4x^2-46x+100&\leq0\cr 2x^2-23x+50&\leq0 \end{aligned} (7) Znalazła pierwiastki odpowiedniego równania kwadratowego: $$2x^2-23x+50=0$$ $$x_1\approx2{,}91,\quad x_2\approx 8{,}59$$ (8) Na koniec Tereza wyznaczyła rozwiązanie nierówności, biorąc pod uwagę tylko zbiór liczb naturalnych: $$K=\left\{3,4,5,6,7,8\right\}$$ Koledzy Terezy skomentowali jej rozwiązanie. Adam twierdzi, że rozwiązanie Terezy jest poprawne.

-David uważa, że Tereza popełniła błąd w kroku (5). Argumentuje, że podzielenie nierówności przez wyrażenie $(x-1)(x-2)(x-3)$, może prowadzić do utraconych rozwiązań. Problem polega na tym, że nie można podzielić nierówności przez wyrażenie bez znajomości jego znaku.

• Peter zgadza się z Davidem. Twierdzi, że po uwzględnieniu utraconych rozwiązań prawidłowy wynik powinien być następujący: $$K=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$$
• Nikola uważa, że Tereza zapomniała użyć warunków istnienia współczynników dwumianowych. Dla współczynnika dwumianowego ${n\choose k}$, utrzymuje, że $n\geq k\geq 0$. Tak więc, dla istnienia współczynników dwumianowych $${x+1\choose5}\quad\mbox{i}\quad{x-1\choose 5}$$ musi to potwierdzać: $$(x+1\geq5\wedge x-1\geq5)\Rightarrow(x\geq4\wedge x\geq6)\Rightarrow x\geq6$$

-Sandra dodaje, że gdybyśmy znali ten stan $x\geq6$ od początku mogliśmy podzielić przez wyrażenie $(x-1)(x-2)(x-3)$ w kroku (5), ponieważ wiedzielibyśmy, że to wyrażenie jest dodatnie.

• Tom mówi, że wszystko wskazuje na to, że ostatecznym rozwiązaniem musi być $K=\left\{e6,7,8\right\}$.