Adam otrzymał zadanie znalezienia pochodnej funkcji $$ f(x)=\mathrm{e}^{x^2} $$ w punkcie $x=0$.Postępował w następujący sposób:
Po pierwsze, zdał sobie sprawę, że jest to funkcja złożona, w której funkcja wewnętrzna jest funkcją wykładniczą $y=e^x$ a funkcja zewnętrzna jest funkcją kwadratową $y=x^2$.
Zróżnicował on funkcję $f$ wykorzystując regułę łańcuchową do różniczkowania funkcji zespolonych: $$ f'(x)=2\cdot (\mathrm{e}^x )^1\cdot (\mathrm{e}^x )'=2\cdot \mathrm{e}^x\cdot \mathrm{e}^x=2\cdot (\mathrm{e}^x )^2 $$ Ustawienie $x=0$ dało mu wartość pochodnej w tym momencie: $$ f'(0)=2\cdot (\mathrm{e}^0 )^2=2\cdot 1^2=2 $$ Czy procedura Adama jest prawidłowa? Wyjaśnij.
Nie. Funkcje wewnętrzne i zewnętrzne są nieprawidłowo zidentyfikowane.
Tak, procedura jest prawidłowa.
Nie. Równość $2\cdot (\mathrm{e}^x )^1\cdot (\mathrm{e}^x )'=2\cdot \mathrm{e}^x\cdot \mathrm{e}^x$ nie jest prawdziwa.
Nie. Pochodna funkcji $f$ jest $f'(x)=\mathrm{e}^{x^2 }$, i prawdą jest, że $f'(0)=\mathrm{e}^0=1$.
Błąd pojawia się na samym początku, gdy Adam źle zrozumiał konwencję notacji wykładników. Zamiast $\mathrm{e}^{x^2}$, co oznacza $\mathrm{e}^{(x^2 )}$, Adam użył $(\mathrm{e}^x )^2$, co równa się $\mathrm{e}^{2x}$.
Prawidłowa procedura jest następująca: Funkcja wewnętrzna jest funkcją kwadratową $y=x^2$, a funkcja zewnętrzna jest funkcją wykładniczą $y=\mathrm{e}^x$. Dla pochodnej funkcji $f(x)=\mathrm{e}^{x^2}$ ,prawdą jest, że: $$ f'(x)=\mathrm{e}^{x^2 }\cdot (x^2)'=\mathrm{e}^{x^2 }\cdot 2x=2x\cdot \mathrm{e}^{x^2 } $$ Ustawienie $x=0$ daje nam wartość pochodnej w tym punkcie: $$ f'(0)=2\cdot 0\cdot \mathrm{e}^{0^2}=0 $$ Rysunek przedstawiający wykres funkcji $f$ pokazuje, że pochodna w punkcie $x=0$ rzeczywiście wynosi zero (styczna jest równoległa do wykresu $x$-osi).
