Zadanie tekstowe I

Paris rozwiązała problem z fizyki:.

Określ amplitudę i fazę początkową oscylacji powstałej w wyniku złożenia dwóch oscylacji harmonicznych o tej samej częstotliwości w tym samym kierunku. Pierwszy z nich ma amplitudę $A_1=2\,\mathrm{cm}$ i początkową fazę $\varphi_1=30^{\circ}$. Druga oscylacja ma amplitudę wynoszącą $A_2=2\sqrt2\,\mathrm{cm}$ i początkową fazę$\varphi_2=135^{\circ}$.

**W którym kroku swojego rozwiązania Paris popełnił błąd?

Rozwiązanie: (1) Paris wykreślił fazory $\overrightarrow{A_1}$, $\overrightarrow{A_2}$ danych oscylacji w płaszczyźnie Gaussa. Narysował również fazor $\overrightarrow{A}$ złożonej oscylacji. Następnie oznaczył liczby zespolone odpowiadające punktom końcowym tych fazorów jako $a_1$, $a_2$, and $a$.

(2) Ponadto Paris wyraził $a_1$ i $a_2$ w formie polarnej: \begin{aligned} a_1&=2\left(\cos30^{\circ}+\mathrm{i}\sin⁡30^{\circ}\right)\cr a_2&=2\sqrt2\left(\cos⁡135^{\circ}+\mathrm{i}\sin⁡135^{\circ}\right)\cr \end{aligned} (3) Następnie przekonwertował $a_1$ i $a_2$ do ich postaci algebraicznej i określono $a$ jako ich suma: \begin{aligned} a_1&=\sqrt3+\mathrm{i}\cr a_2&=-2+2\mathrm{i}\cr a=a_1+ a_2&=\sqrt3-2+3\mathrm{i} \end{aligned} (4) Następnie Paris określił wartość bezwzględną: $$|a|=2\sqrt{4-\sqrt3}\doteq 3$$ (5) Znalazła argument liczby zespolonej $a$: $$\sin\varphi=\frac{3}{2\sqrt{4-\sqrt3}}\Rightarrow \varphi\doteq 84^{\circ}54^{'}$$

(6) Na koniec Paris zapisał wnioski dotyczące zadania: Amplituda złożonej oscylacji wynosi około $3\, \mathrm{cm}$ a faza początkowa wynosi około $84^{\circ}54^{'}$.