Paris řešil úkol do fyziky:
Určete amplitudu a počáteční fázi kmitání, které vznikne složením dvou harmonických kmitání stejné frekvence ve stejném směru. První z nich má amplitudu $A_1=2\,\mathrm{cm}$ a počáteční fázi $\varphi_1=30^{\circ}$. Druhé kmitání má amplitudu $A_2=2\sqrt2\,\mathrm{cm}$ a počáteční fázi $\varphi_2=135^{\circ}$.
Ve kterém kroku svého řešení udělal Paris chybu?
Řešení: (1) Paris zakreslil fázory $\overrightarrow{A_1}$, $\overrightarrow{A_2}$ daných kmitání do Gaussovy roviny. Vyznačil také fázor $\overrightarrow{A}$ složeného kmitání. Komplexní čísla odpovídající koncovým bodům těchto fázorů označil $a_1$, $a_2$, a $a$.
(2) Paris vyjádřil $a_1$ a $a_2$ v goniometrickém tvaru: \begin{aligned} a_1&=2\left(\cos30^{\circ}+\mathrm{i}\sin30^{\circ}\right)\cr a_2&=2\sqrt2\left(\cos135^{\circ}+\mathrm{i}\sin135^{\circ}\right)\cr \end{aligned} (3) Paris vyjádřil $a_1$ a $a_2$ v algebraickém tvaru a určil $a$ jako jejich součet: \begin{aligned} a_1&=\sqrt3+\mathrm{i}\cr a_2&=-2+2\mathrm{i}\cr a=a_1+ a_2&=\sqrt3-2+3\mathrm{i} \end{aligned} (4) Paris určil absolutní hodnotu $a$: $$|a|=2\sqrt{4-\sqrt3}\doteq 3$$ (5) Paris určil argument komlexního čísla $a$: $$\sin\varphi=\frac{3}{2\sqrt{4-\sqrt3}}\Rightarrow \varphi\doteq 84^{\circ}54^{'}$$
(6) Nakonec Paris zapsal výsledek úlohy: Amplituda složeného kmitání je přibližně $3\, \mathrm{cm}$ a počáteční fáze přibližně $84^{\circ}54^{'}$.
V kroku (2). Správné vyjádření $a_2$ je: $$a_2=2\sqrt2\left(\cos45^{\circ}+\mathrm{i} \sin 45^{\circ}\right)$$
V kroku (3). Správné algebraické tvary komplexních čísel $a_1$, $a_2$ a jejich součtu jsou: \begin{aligned} a_1&=\sqrt3+\mathrm{i}\cr a_2&=2-2\mathrm{i}\cr a=a_1+ a_2&=\sqrt3+2-\mathrm{i} \end{aligned}
V kroku (4). Absolutní hodnota $a$ je: $$|a|=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+(-2)^2+3^2}=4$$
V kroku (5). Argument $\varphi$ komplexního čísla $a$ musí být řešením následující soustavy rovnic. $$\sin\varphi=\frac{3}{2\sqrt{4-\sqrt{3}}} \wedge \cos\varphi=\frac{\sqrt3-2}{2\sqrt{4-\sqrt3}}.$$ $$\varphi\doteq95^{\circ}6^{'}$$