Paris vyriešila fyzikálnu úlohu:
Určte amplitúdu a počiatočnú fázu kmitania vznikajúceho zložením dvoch harmonických kmitaní s rovnakou frekvenciou v rovnakom smere. Prvé má amplitúdu $A_1=2\,\mathrm{cm}$ a počiatočnú fázu $\varphi_1=30^{\circ}$. Druhé kmitanie má amplitúdu $A_2=2\sqrt2\,\mathrm{cm}$ a počiatočnú fázu $\varphi_2=135^{\circ}$.
V ktorom kroku svojho riešenia urobila Paris chybu?
Riešenie:
(1) Paris zakreslila fázory $\overrightarrow{A_1}$, $\overrightarrow{A_2}$ daných kmitaní v Gaussovej rovine. Nakreslila aj fázor $\overrightarrow{A}$ zloženého kmitania. Potom označila komplexné čísla zodpovedajúce koncovým bodom týchto fázorov ako $a_1$, $a_2$, a $a$.
(2) Paris vyjadrila $a_1$ a $a_2$ v goniometrickom tvare: \begin{aligned} a_1&=2\left(\cos30^{\circ}+\mathrm{i}\sin30^{\circ}\right)\cr a_2&=2\sqrt2\left(\cos135^{\circ}+\mathrm{i}\sin135^{\circ}\right)\cr \end{aligned} (3) Potom vyjadrila $a_1$ a $a_2$ v ich algebrickom tvare a určila $a$ ako ich súčet: \begin{aligned} a_1&=\sqrt3+\mathrm{i}\cr a_2&=-2+2\mathrm{i}\cr a=a_1+ a_2&=\sqrt3-2+3\mathrm{i} \end{aligned} (4) Následne určila absolútnu hodnotu: $$|a|=2\sqrt{4-\sqrt3}\doteq 3$$
(5) Určila argument komplexného čísla $a$: $$\sin\varphi=\frac{3}{2\sqrt{4-\sqrt3}}\Rightarrow \varphi\doteq 84^{\circ}54^{'}$$
(6) Nakoniec Paris zapísala záver úlohy: Amplitúda zloženého kmitania je približne $3\, \mathrm{cm}$ a počiatočná fáza je približne $84^{\circ}54^{'}$.
V kroku (2). Správne vyjadrenie $a_2$ je: $$a_2=2\sqrt2\left(\cos45^{\circ}+\mathrm{i} \sin 45^{\circ}\right)$$
V kroku (3). Správne algebrické tvary $a_1$, $a_2$ a ich súčet sú: \begin{aligned} a_1&=\sqrt3+\mathrm{i}\cr a_2&=2-2\mathrm{i}\cr a=a_1+ a_2&=\sqrt3+2-\mathrm{i} \end{aligned}
V kroku (4). Absolútna hodnota $a$ je: $$|a|=\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2+(-2)^2+3^2}=4$$
V kroku (5). Argument $\varphi$ komplexného čísla $a$ musí byť riešením sústavy nasledujúcich rovníc.
$$\sin\varphi=\frac{3}{2\sqrt{4-\sqrt{3}}} \wedge \cos\varphi=\frac{\sqrt3-2}{2\sqrt{4-\sqrt3}}.$$
$$\varphi\doteq95^{\circ}6^{'}$$